Question

19．當(dāng)x、y、z為非負(fù)數(shù)，且$\left\{\begin{array}{l}{3x+3y+z=4}\\{x-3y-2z=-3}\end{array}\right.$，求t=3x-2y+z的最大值和最小值．

Answer 1

分析 解方程組得到y(tǒng)和z的關(guān)于x的表達(dá)式，再根據(jù)y，z為非負(fù)實(shí)數(shù)，列出關(guān)于x的不等式組，求出x的取值范圍，再將t轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的表達(dá)式，將x的最大值和最小值代入解析式即可得到t的最大值和最小值．

解答 解：解$\left\{\begin{array}{l}{3x+3y+z=4①}\\{x-3y-2z=-3②}\end{array}\right.$
①+②得，4x-z=1，
則z=4x-1，
將z=4x-1代入①可解得，7x+3y=5，
則y=$\frac{5-7x}{3}$．
因?yàn)閥，z均為非負(fù)數(shù)，
所以$\left\{\begin{array}{l}{4x-1≥0}\\{\frac{5-7x}{3}≥0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{4}$≤x≤$\frac{5}{7}$．
于是，
t=3x-2y+z=3x-2（$\frac{5-7x}{3}$）+（4x-1）
=$\frac{35}{3}$x-$\frac{13}{3}$．
當(dāng)x值增大時(shí)，t的值增大；當(dāng)x值減小時(shí)，t的值減�。�
故當(dāng)x=$\frac{5}{7}$時(shí)，t有最大值4；當(dāng)x=$\frac{1}{4}$時(shí)，t有最小值-$\frac{17}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了一次函數(shù)最值的求法，將y、z的轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的表達(dá)式及求出x的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．