Question

14．如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DE∥AC且DE=$\frac{1}{2}$AC，連接 CE、OE，連接AE交OD于點F．
（1）求證：OE=CD；
（2）若菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=60°，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）先求出四邊形OCED是平行四邊形，再根據(jù)菱形的對角線互相垂直求出∠COD=90°，證明OCED是矩形，可得OE=CD即可；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC=AB，再根據(jù)勾股定理得出AE的長度即可．

解答 （1）證明：在菱形ABCD中，OC=$\frac{1}{2}$AC．
∴DE=OC．
∵DE∥AC，
∴四邊形OCED是平行四邊形．
∵AC⊥BD，
∴平行四邊形OCED是矩形．  
∴OE=CD．
（2）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AC=AB=2．
∴在矩形OCED中，
CE=OD=$\sqrt{A{D^2}-A{O^2}}=\sqrt{3}$．
在Rt△ACE中，
AE=$\sqrt{A{C^2}+C{E^2}}=\sqrt{7}$．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，熟記矩形的判定方法與菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．