Question

11．如圖，已知⊙O的直徑AB與弦CD互相垂直，垂足為點E．⊙O的切線BF與弦AD的延長線相交于點F，且AF=5，cos∠BCD=$\frac{3}{4}$．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求弦CD的長．

Answer 1

分析 （1）由切線性質(zhì)知∠ABF=90°，根據(jù)∠BCD=∠BAD知cos∠BCD=cos∠BAF=$\frac{AB}{AF}$=$\frac{3}{4}$，可得AB=$\frac{3}{4}$AF=$\frac{15}{4}$，從而得出答案；
（2）連結(jié)BD，解直角三角形分別得到AD=ABcos∠BAD=$\frac{45}{16}$、BF=$\frac{5\sqrt{7}}{4}$、sin∠BAF=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，由ED=ADsin∠EAD可得答案．

解答 解：（1）∵BF為⊙O的切線，
∴∠ABF=90°，
∵∠BCD=∠BAD，
∴在Rt△ABF中，cos∠BCD=cos∠BAF=$\frac{AB}{AF}$=$\frac{3}{4}$，
∴AB=$\frac{3}{4}$AF=$\frac{3}{4}$×5=$\frac{15}{4}$，
∴AO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{15}{8}$；

（2）連結(jié)BD，

在Rt△ABD中，AD=ABcos∠BAD=$\frac{15}{4}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{45}{16}$，
在Rt△ABF中，BF=$\sqrt{A{F}^{2}-A{B}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{7}}{4}$，sin∠BAF=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{\frac{5\sqrt{7}}{4}}{5}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴ED=ADsin∠EAD=$\frac{45}{16}$×$\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{45}{64}$$\sqrt{7}$，CD=2ED=$\frac{45}{32}$$\sqrt{7}$．

點評 本題主要考查切線的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理及解直角三角形，熟練掌握切線的性質(zhì)和垂徑定理及解直角三角形是解題的關(guān)鍵．