Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，平行四邊形ABCD的邊BC在x軸上，D點在y軸上，C點坐標(biāo)為（2，0），BC=6，∠BCD=60°，點E是AB上一點，AE=3EB，⊙P過D，O，C三點，拋物線y=ax²+bx+c過點D，B，C三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）說明ED是⊙P的切線，若將△ADE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，E點的對應(yīng)點E′會落在拋物線上嗎？請說明理由；
（3）若點M為此拋物線的頂點，平面上是否存在點N，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）解直角三角形得到D（0，2$\sqrt{3}$），設(shè)拋物線的解析式為y=（x+4）（x-2），把D（0，2$\sqrt{3}$）即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠ADE=∠CDO，于是得到CD為⊙P的直徑，根據(jù)切線的判定定理得到ED是⊙P的切線；E點的對應(yīng)點E′不會落在拋物線上，根據(jù)相似三角形的想知道的DE=3$\sqrt{3}$，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的想知道的E點的對應(yīng)點在射線DC上，而點D，C在拋物線上，于是得到點E′不能在拋物線上；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的解析式得到M（-1，$\frac{9\sqrt{3}}{4}$），由B（-4，0），D（0，2$\sqrt{3}$），當(dāng)BM為平行四邊形BDMN的對角線時，當(dāng)DM為平行四邊形BDMN的對角線時，當(dāng)BD為平行四邊形BDMN的對角線時，根據(jù)平移的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵C點坐標(biāo)為（2，0），BC=6，
∴B（-4，0），
在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=$\frac{OD}{OC}$，
∴OD=2tan60°=2$\sqrt{3}$，
∴D（0，2$\sqrt{3}$），
設(shè)拋物線的解析式為y=（x+4）（x-2），
把D（0，2$\sqrt{3}$）代入得a•4•（-2）=2$\sqrt{3}$，
解得：a=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+4）（x-2）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+2$\sqrt{3}$；

（2）在Rt△OCD中，CD=2OC=4，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，
∵AE=3BE，
∴AE=3，
∴$\frac{AE}{OC}=\frac{3}{2}$，$\frac{AD}{CD}$=$\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AE}{OC}=\frac{AD}{CD}$，
∵∠DAE=∠DCB，
∴△AED∽△DCB，
∴∠ADE=∠CDO，
∵∠ADE+∠ODE=90°，
∴∠CDO+∠ODE=90°，
∴CD⊥DE，
∵∠DOC=90°，
∴CD為⊙P的直徑，
∴ED是⊙P的切線；
E點的對應(yīng)點E′不會落在拋物線上，
理由：∵△AED∽△COD，
∴$\frac{DE}{OD}=\frac{AE}{OC}$，
即$\frac{DE}{2\sqrt{3}}$=$\frac{3}{2}$，
解得：DE=3$\sqrt{3}$，
∵∠CDE=90°，DE＞DC，
∴將△ADE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，E點的對應(yīng)點在射線DC上，而點D，C在拋物線上，
∴點E′不能在拋物線上；
（3）存在，∵y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+2$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+1）²+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∴M（-1，$\frac{9\sqrt{3}}{4}$），
∵B（-4，0），D（0，2$\sqrt{3}$），
如圖，當(dāng)BM為平行四邊形BDMN的對角線時，
點D向左平移4個單位，再向下平移2$\sqrt{3}$個單位得到B，
則點M（-1，$\frac{9\sqrt{3}}{4}$）向左平移4個單位，再向下平移2$\sqrt{3}$個單位得到N₁（-5，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）；
當(dāng)DM為平行四邊形BDMN的對角線時，
點B向右平移3個單位，再向上平移$\frac{9\sqrt{3}}{4}$個單位得到D，
則點M（-1，$\frac{9\sqrt{3}}{4}$）向右平移4個單位，再向上平移2$\sqrt{3}$個單位得到N₂（3，$\frac{17\sqrt{3}}{4}$）；
當(dāng)BD為平行四邊形BDMN的對角線時，
點M向右平移1個單位，再向下平移$\frac{\sqrt{3}}{4}$個單位得到D，
則點B（-4，0）向右平移1個單位，再向下平移$\frac{\sqrt{3}}{4}$個單位得到N₃（-3，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）；
綜上所述，以點B，D，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形時，點N的坐標(biāo)為（-5，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）或（3，$\frac{17\sqrt{3}}{4}$）或（-3，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．

點評 本題考查了求拋物線的解析式，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，切線的判定，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．