Question

6．已知拋物線y=ax²+bx+c（a＜b＜0）與x軸最多有一個交點，現(xiàn)有以下結(jié)論：
①c＜0；②該拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)；③關(guān)于x的方程ax²+bx+c+2=0有實數(shù)根；④對于自變量x的任意一個取值，都有$\frac{a}$x²+x≥-$\frac{4a}$，其中正確的為（　�。�

• A． ①②
• B． ①②④
• C． ①②③
• D． ①②③④

Answer 1

分析 從拋物線與x軸最多一個交點及a＜b＜0，可以推斷拋物線有最大值為0，對稱軸在y軸左側(cè)，并得到b²-4ac≤0，從而得到①②為正確，③錯誤；利用函數(shù)y=函數(shù)y=$\frac{a}$x²+x=$\frac{a}$（x²+$\frac{a}$x）=$\frac{a}$（x+$\frac{2a}$）²-$\frac{4a}$，根據(jù)函數(shù)的最值問題即可解決．④正確．

解答 解：∵a＜b＜0
∴-$\frac{2a}$＜0，拋物線有最大值為0，
∴c＜0；該拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)；
所以①正確；②正確；
∵拋物線與x軸最多有一個交點，
∴b²-4ac≤0，
∴關(guān)于x的方程ax²+bx+c+2=0中，△=b²-4a（c+2）=b²-4ac-8a，
∵a＜0，
∴-8a＞0，
當|b²-4ac|≥|8a|，則關(guān)于x的方程ax²+bx+c+2=0有實數(shù)根，
當|b²-4ac|＜|8a|，則關(guān)于x的方程ax²+bx+c+2=0無實數(shù)根，
∴關(guān)于x的方程ax²+bx+c+2=0的根的情況不確定；
所以③錯誤；
∵函數(shù)y=$\frac{a}$x²+x=$\frac{a}$（x²+$\frac{a}$x）=$\frac{a}$（x+$\frac{2a}$）²-$\frac{4a}$，
∵$\frac{a}$＞0，
∴函數(shù)y有最小值-$\frac{4a}$，
∴$\frac{a}$x²+x≥-$\frac{4a}$．所以④正確．
故選：B．

點評 本題考查了二次函數(shù)的解析式與圖象的關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是要明確a的符號決定了拋物線開口方向；a、b的符號決定對稱軸的位置；拋物線與x軸的交點個數(shù)，決定了b²-4ac的符號．