Question

5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，將邊AC沿CE翻折，使點A落在AB上的點D處；再將邊BC沿CF翻折，使點B落在CD的延長線上的點B′處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點E、F，則DF的長為$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 首先根據(jù)折疊可得CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，進而求得∠B′FD=90°，CE=EF=$\frac{12}{5}$，ED=AE=$\frac{9}{5}$，從而求得B′D=1，DF=$\frac{3}{5}$．

解答 解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，
∴B′D=4-3=1，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF=CE，∠EFC=45°，
∴∠BFC=∠B′FC=135°，
∴∠B′FD=90°，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CE，
∴AC•BC=AB•CE，
∵根據(jù)勾股定理求得AB=5，
∴CE=$\frac{12}{5}$，
∴EF=$\frac{12}{5}$，ED=AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∴DF=EF-ED=$\frac{3}{5}$．
故答案為：$\frac{3}{5}$

點評 此題主要考查了翻折變換，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，根據(jù)折疊的性質(zhì)求得相等的角是解決本題的關(guān)鍵．