Question

13．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，以AC為底邊作等腰三角形△ACD，AD=CD，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于點(diǎn)E，連接CE．
（1）求證：AE=CE=BE；
（2）若AB=15cm，BC=9cm，點(diǎn)P是射線DE上的一點(diǎn)．則當(dāng)點(diǎn)P為何處時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小，并求出此時(shí)△PBC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）首先證明EA=EC，再證明EC=EB即可解決問題．
（2）先說明P與E重合時(shí)△PBC的周長(zhǎng)最小，最小值=AB+AC．

解答 （1）證明：∵DA=DC，DF⊥AC，
∴AF=CF，
∴DE垂直平分線段AC，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠ACB=90°，
∴∠EAC+∠B=90°，∠ECA+∠ECB=90°，
∴∠ECB=∠B，
∴EC=EB=EA．

（2）連接PB、PC、PA．
要使得△PBC的周長(zhǎng)最小，只要PB+PC最小即可．
∵PB+PC=PA+PB≥AB，
∴當(dāng)P與E重合時(shí)，PA+PB最小，
∴△PBC的周長(zhǎng)最小值=AB+BC=15+9=24cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軸對(duì)稱-最小值問題，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用對(duì)稱解決最值問題，屬于中考�？碱}型．