Question

8．已知：如圖，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D為BC的中點(diǎn)，E為邊AC上的一點(diǎn)，且不與端點(diǎn)A、C重合，G在線段BE上，聯(lián)結(jié)DG并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)F，若∠FGE=45°，設(shè)AE=x，EF=y
（1）求證：△BDG∽△BEC；
（2）求證：AG⊥BE；
（3）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得出∠ABC=∠C=45°，∠BGD=∠FGE=45°，得出∠C=∠BGD，再由∠GBD=∠EBC，即可得出結(jié)論；
（2）由勾股定理得出：BC=$\sqrt{2}$AB，由已知得BD=$\frac{1}{2}$BC，由△BDG∽△BEC，得出$\frac{BD}{BE}$=$\frac{BG}{BC}$，求出$\frac{AB}{BG}$=$\frac{BE}{AB}$，由∠ABG=∠EBA，證得△ABG∽△EBA，即可得出結(jié)論；
可通過證明ABG∽△EBA從而求得AG⊥BE；
（3）由（2）得出∠AGE=90°=∠BAC，由已知條件得出GF平分∠AGE，由角平分線定理得出$\frac{EF}{AF}=\frac{EG}{AG}$，證明△AEG∽△BEA，得出對(duì)應(yīng)邊成比例$\frac{EG}{AG}=\frac{AE}{AB}$，得出$\frac{EF}{AF}=\frac{AE}{AB}$，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°，
∵∠BGD=∠FGE=45°，
∴∠C=∠BGD，
∵∠GBD=∠EBC，
∴△BDG∽△BEC；
（2）證明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴由勾股定理得：BC=$\sqrt{2}$AB，
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC，
由（1）得：△BDG∽△BEC，
∴$\frac{BD}{BE}$=$\frac{BG}{BC}$，
∴BG=$\frac{BD•BC}{BE}$=$\frac{\frac{1}{2}BC•BC}{BE}$=$\frac{\frac{1}{2}B{C}^{2}}{BE}$=$\frac{\frac{1}{2}×（\sqrt{2}AB）^{2}}{BE}$=$\frac{A{B}^{2}}{BE}$，
∴$\frac{AB}{BG}$=$\frac{BE}{AB}$，
∵∠ABG=∠EBA，
∴△ABG∽△EBA，
∴∠BGA=∠BAE=90°，
∴AG⊥BE；
（3）解：由（2）得：∠BGA=90°，
∴∠AGE=90°=∠BAC，
∵∠FGE=45°，
∴GF平分∠AGE，
∴$\frac{EF}{AF}=\frac{EG}{AG}$，
∵∠AEG=∠BEA，
∴△AEG∽△BEA，
∴$\frac{EG}{AG}=\frac{AE}{AB}$，
∴$\frac{EF}{AF}=\frac{AE}{AB}$，
即$\frac{y}{x-y}=\frac{x}{4}$，
解得：y=$\frac{{x}^{2}}{x+4}$（0＜x＜4）．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、角平分線定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，特別是（3）中，需要運(yùn)用角平分線定理和證明三角形相似，得出對(duì)應(yīng)邊成比例才能得出結(jié)果．