Question

3．如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，AE=3，AF=4，∠EAF=60°，則?ABCD的面積是8$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 延長AE，DC交于G，連接AC，過F作FH⊥AE于H，根據(jù)已知條件推出△ABE≌△GCE，得到GE=AE=3，于是得到S_△AEC=S_△AFC=S_△GEC=$\frac{1}{4}$S_{四邊形ABCD}，求出S_△AGF=×$6×2\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$，得到S_△AEC=$\frac{1}{3}$S_△AGF=2$\sqrt{3}$，即可得到結(jié)果．

解答 解：延長AE，DC交于G，連接AC，過F作FH⊥AE于H，
在?ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠B=∠BCG，
∵E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，
∴BE=CE，
在△ABE與△GCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ECG}\\{BE=CE}\\{∠AEB=∠GEC}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△GCE，
∴GE=AE=3，
∵AF=4，∠EAF=60°，∴FH=2$\sqrt{3}$，
∴S_△AEC=S_△AFC=S_△GEC=$\frac{1}{4}$S_{四邊形ABCD}，
∵AG=6，F(xiàn)H=2$\sqrt{3}$，
∴S_△AGF=$\frac{1}{2}$×$6×2\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$，
∴S_△AEC=$\frac{1}{3}$S_△AGF=2$\sqrt{3}$，
∴S_{四邊形ABCD}=4S_△AEC=8$\sqrt{3}$．
故答案為：8$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的面積，三角形的面積，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．