Question

11．如圖，AD為△ABC的角平分線，點(diǎn)E在AD上．
（1）若BE平分∠ABC，求證：CE平分∠ACB；
（2）在（1）的條件下，若∠BAC=80°，求∠BEC的度數(shù)；
（3）若∠BEC=90°+∠EAC，求證：BE平分∠ABC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）由∠BAC=80°，得到∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=100°，由于BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，于是得到∠EBC+∠ECB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=50°，于是結(jié)論可得；
（3）過C作CF⊥BE交BE的延長線于G，交BA的延長線于F，連接EF，則∠CGE=90°，于是得到∠BEC=90°+∠ECG=90°+∠EAC，由于AD平分∠BAC于是得到∠EAB=∠EAC=∠ECG，推出A，E，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，得到△CEF是等腰三角形，證出△BEF≌△BEC，推出∠EBF=∠EBC，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，過E作EF⊥AB與F，EG⊥BC與G，EH⊥AC與H，
∵AD平分∠BAC，
∴EF=EH，
∵BE平分∠ABC，
∴EF=EG，
∴EH=EG，
∴CE平分∠ACB；

（2）∵∠BAC=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=100°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=50°，
∴∠BEC=180°-50°=130°；

（3）過C作CF⊥BE交BE的延長線于G，交BA的延長線于F，連接EF，則∠CGE=90°，
∴∠BEC=90°+∠ECG=90°+∠EAC，
∴∠EAC=∠ECG，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAB=∠EAC=∠ECG，
∴A，E，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，
∴∠EFG=∠EAC=∠ECG，
∴△CEF是等腰三角形，
∴EF=EC，∠FEG=∠CEG，
∴∠BEF=∠BEC，
在△BEF與△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BE}\\{∠BEF=∠BEC}\\{EF=EC}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△BEC，
∴∠EBF=∠EBC，
∴BE平分∠ABC．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，角平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．