Question

已知，，是的平分線(xiàn)，點(diǎn)在上，．將三角板的直角頂點(diǎn)放置在點(diǎn)處，繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，三角板的一條直角邊與射線(xiàn)交于點(diǎn)，另一條直角邊與直線(xiàn)、直線(xiàn)分別交于點(diǎn)、點(diǎn)．

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在射線(xiàn)上時(shí)，

①求證： ；

②設(shè)，，求與的函數(shù)解析式并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；

（2）連結(jié)，當(dāng)△與△似時(shí)，求的長(zhǎng)．

 

Answer 1

【答案】

（1）①證明見(jiàn)解析②（2）

【解析】（1）

證明：①過(guò)點(diǎn)作，，垂足分別為、．

∵是的平分線(xiàn)，

∴．

由，得．

∴．

∵，

∴．

∴△≌△．                        （3分）

∴．

解：②∵，

∴．

      ∵△≌△，

∴．

∴．                                                           （2分）

∵∥，

∴．

∴．                                                          （2分）

∴                                              （2分）

解：（2）當(dāng)△與△相似時(shí)，點(diǎn)的位置有兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)在射線(xiàn)上時(shí)，

∵，，

∴．

∴．

∴．

在Rt△中，．                                （2分）

②當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，

∵，，

∴．

∵，，

∴．

易證，可得．

∴．

∴．

易證△≌△，

可得．

∵∥，

∴．

∴．

∴．                                                     （2分）

（1）①過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分別為M、N，有已知條件證明△PMF≌△PNE即可證明PF=PE；②利用①中的三角形全等和相似三角形的性質(zhì)即可求出y與x的函數(shù)解析式，再寫(xiě)出其自變量的取值范圍即可；

（2）當(dāng)△CEF與△EGP相似時(shí)，點(diǎn)F的位置有兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)F在射線(xiàn)CA上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)F在AC延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，分別討論求出滿(mǎn)足題意的EG長(zhǎng)即可．