Question

19．如圖，在矩形ABCD中，AD=1，平行四邊形AEFD是矩形ABCD的伴隨四邊形，且E是BC的中點，若AF⊥BD，求AB的值．

Answer 1

分析 首先證明$\frac{AD}{BF}$=$\frac{AG}{GF}$=$\frac{2}{3}$，設(shè)AG=2k，GF=3k，由△ABG∽△BCG，可得BG²=AG•FG=6k²，推出BG=$\sqrt{6}$k，由△ABG∽△AFB，可得$\frac{AB}{AF}$=$\frac{BG}{BF}$，即$\frac{AB}{5k}$=$\frac{\sqrt{6}k}{1.5}$，推出AB=$\frac{10\sqrt{6}}{3}$k²，在Rt△BGF中，（$\sqrt{6}$k）²+（3k）²=（$\frac{3}{2}$）²，可得k²=$\frac{3}{20}$，由此即可解決問題．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=1，AD∥BF，∠ABC=90°，
∵四邊形AEFD是平行四邊形，
∴AD=EF=1，
∵BE=CE，
∴BE=CF=CF=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AD}{BF}$=$\frac{AG}{GF}$=$\frac{2}{3}$，
設(shè)AG=2k，GF=3k，
∵BD⊥AF，
∴易證△ABG∽△BCG，
∴BG²=AG•FG=6k²，
∴BG=$\sqrt{6}$k，
由△ABG∽△AFB，可得$\frac{AB}{AF}$=$\frac{BG}{BF}$，
∴$\frac{AB}{5k}$=$\frac{\sqrt{6}k}{1.5}$，
∴AB=$\frac{10\sqrt{6}}{3}$k²，
在Rt△BGF中，（$\sqrt{6}$k）²+（3k）²=（$\frac{3}{2}$）²，
∴k²=$\frac{3}{20}$，
∴AB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查矩形的性質(zhì)．平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，學(xué)會利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問題，屬于中考�？碱}型．