Question

1．如圖，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，點(diǎn)M，N分別是點(diǎn)P關(guān)于直線OA，OB的對稱點(diǎn)，線段MN交OA，OB于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）若△PEF的周長是15cm，求線段MN的長；
（2）若∠AOB=35°，求∠EPF的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出ME=PE，NF=PF，再由△PEF的周長是15cm即可得出結(jié)論；
（2）要求∠EPF的度數(shù)，要在△EPF中進(jìn)行，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)找出與∠MPN的關(guān)系，利用已知∠AOB=35°可求出∠EPF，答案可得．

解答 解：（1）∵點(diǎn)M、N分別是點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)，
∴ME=PE，NF=PF，△PEF的周長是15cm，
∴ME+EF+NF=PE+EF+PF=MN=15cm，
即MN=15cm．
（2）如圖，

∵點(diǎn)M、N分別是點(diǎn)P關(guān)于直線0A、OB的對稱點(diǎn)，
∴OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，
∴ME=PE，PF=NF，
∴∠PEF=2∠M，∠PFE=2∠N，
∵∠PRE=∠PTF=90°，
∴在四邊形OTPR中，
∴∠MPN+∠AOB=180°，
∵∠EPF+2∠M+2∠N=180°，
即∠MPN+∠M+∠N=180°，
∴∠M+∠N=∠AOB=35°
∴∠EPF=180°-35°×2=110°．

點(diǎn)評 本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，在計算的過程中運(yùn)用了四邊形的內(nèi)角和和三角形的內(nèi)角和定理及其推論．