Question

如圖，△ABC，分別以AB、AC為邊作等邊三角形ABD與等邊三角形ACE，連接BE、CD，BE的延長線與CD交于點(diǎn)F，連接AF，有以下四個(gè)結(jié)論：①BE=CD；②FA平分∠EFC；③FE=FD；④FE+FC=FA；其中一定正確的結(jié)論有（　�。﹤�(gè)．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：先在AF上找到點(diǎn)G使得FG=EF，證出△BAE≌△DAC，可得BE=CD，從而得出①正確；先證出A、E、F、C四點(diǎn)共圓，根據(jù)AE=AC，可得FA平分∠EFC，從而得出②正確；根據(jù)CF+EF=AF，CF+DF=CD，得出CD≠AF，從而得出FE≠FD，即可得出③錯(cuò)誤；根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)得出△AGE≌△CFE，可得AG=CF，即可求得AF=CF+EF，從而得出④正確；

解答：解：在AF上找到點(diǎn)G使得FG=EF，
∵∠BAE+∠DAE=60°，∠CAD+∠DAE=60°，
∴∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△DAC中，

AB=AD ∠BAE=∠DAC AE=AC

，
∴△BAE≌△DAC，（SAS）
∴BE=CD，①正確；
∠BEA=∠ACD，
∵∠AEB+∠AEF=180°，
∴∠AEF+∠ACF=180°，
∴A、E、F、C四點(diǎn)共圓，
∴∠EFC=120°，
∵AE=AC，
∴∠AFC=∠AFE，即FA平分∠EFC，②正確；
∵FG=EF，∠AFE=60°，
∴△EFG是等邊三角形，
∴EF=EG，
∵∠AEG+∠CEG=60°，∠CEG+∠CEF=60°，
∴∠AEG=∠CEF，
在△AGE和△CFE中，

AE=AC ∠AEG=∠CEF EG=EF

，
∴△AGE≌△CFE（SAS），
∴AG=CF，
∵AF=AG+FG，
∴AF=CF+EF，④正確；
∵CF+EF=AF，CF+DF=CD，
CD≠AF，
∴FE=FD，③錯(cuò)誤，
∴正確的結(jié)論有3個(gè)．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定、全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)和圓周角原理，證出△BAE≌△DAC和△AGE≌△CFE是解決本題的關(guān)鍵．