Question

13．如圖1，點P是線段AB上的動點（P不與A、B重合），分別以AP、BP為邊向線段AB的同側作等邊△APC和等邊△BPD，AD和BC交于點M．
（1）求證：AD=BC；
（2）將點P在線段AB上隨意固定，再把△BPD按順時針方向繞點P旋轉一個角度α（α＜60°），如圖2所示，在旋轉過程中，∠AMC的度數(shù)是否與α的大小有關？證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）只要證明△BPC≌△DPA即可．
（2）先證明△BPC≌△DPA得到∠BCP=∠DAP，求出∠AMC的大小即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1，∵△APC和△BPD是等邊三角形，
∴CP=AP，DP=PB，∠APC=∠DPB=60°，
∵∠BPC=180°-60°，∠DPA=180°-60°，
∴∠BPC=∠DPA，
在△BPC和△DPA中，
$\left\{\begin{array}{l}{CP=AP}\\{∠BPC=∠DPA}\\{DP=PB}\end{array}\right.$，
∴△BPC≌△DPA，
∴AD=BC．
（2）∠AMC的度數(shù)與α的大小無關，理由如下：
如圖2，∵∠BPC=∠CPD+60°，∠DPA=∠CPD+60°，
∴∠BPC=∠DPA，
在△BPC和△DPA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=DP}\\{∠BPC=∠DPA}\\{PC=PA}\end{array}\right.$，
∴△BPC≌△DPA，
∴∠BCP=∠DAP，
∴∠AMC=180°-∠MCP-∠PCA-∠MAC
=120°-∠BCP-∠MAC
=120°-（∠DAP+∠MAC）
=120°-∠PAC
=60°，
∴∠AMC的度數(shù)與α無關．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形，所以中考常考題型．