Question

3．如圖，D點(diǎn)在邊CG上，四邊形ABCD和CEFG均為正方形，H是AF的中點(diǎn)．求證：
（1）BG=DE；
（2）CH=$\frac{1}{2}$AF．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得出∠BCD=∠DCE=90°，BC=DC，CG=CE，由SAS證明△BCG≌△DCE，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可；
（2）連接AC、CF，由正方形的性質(zhì)得出∠ACD=∠FCG=45°，證出△ACF是直角三角形，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD和CEFG均為正方形，
∴∠BCD=∠DCE=90°，BC=DC，CG=CE，
在△BCG和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}&{\;}\\{∠BCD=∠DCE}&{\;}\\{CG=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE；
（2）連接AC、CF，如圖所示：
∵四邊形ABCD和CEFG均為正方形，
∴∠ACD=∠FCG=45°，
∴∠ACF=45°+45°=90°，
即△ACF是直角三角形，
∵H是AF的中點(diǎn)，
∴CH=$\frac{1}{2}$AF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定由V型在，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題（1）的關(guān)鍵．