Question

如圖，AB經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)C，且OA=OB，CA=CB，⊙O分別與OA、OB的交點(diǎn)D、E恰好是OA、OB的中點(diǎn)，EF切⊙O于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若∠A=30°，⊙O的半徑為2，求DF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)以及切線的判定進(jìn)而得出即可；
（2）利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠FOE=∠B=30°，進(jìn)而得出FO的長(zhǎng)，再利用勾股定理得出DF的長(zhǎng)即可．

解答：（1）證明：連接CO，
∵AO=BO，CA=CB，
∴CO⊥AB，
∵CO為⊙O的半徑，
∴AB是⊙O的切線；

（2）解：連接FO，
∵OA=OB，∠A=30°，OC⊥AB，CO=2，
∴AO=4，∠B=30°，
∵⊙O分別與OA、OB的交點(diǎn)D、E恰好是OA、OB的中點(diǎn)，EF切⊙O于點(diǎn)E，
∴FE⊥BO，OE=BE=2，
∴FO=FB，
∴∠FOE=∠B=30°，
∴cos∠FOE=

EO

FO

=

2

FO

=

3

2

，
解得：FO=

4 3

3

，
∵∠A=∠B=∠BOF=30°，
∴∠AOF=90°，
∴DF=

DO2+FO2

=

22+( 4 3 3 )2

=

2 21

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，得出∠AOF=90°是解題關(guān)鍵．