Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=-

1

2

x²+bx+c（b，c為常數(shù)）的頂點(diǎn)為P，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-1），C的坐標(biāo)為（4，3），直角頂點(diǎn)B在第四象限．
（1）如圖，若該拋物線過(guò)A，B兩點(diǎn)，求b，c的值；
（2）平移（1）中的拋物線，使頂點(diǎn)P在直線AC上滑動(dòng)，且與直線AC交于另一點(diǎn)Q．
①點(diǎn)M在直線AC下方，且為平移前（1）中的拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)以M，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是以PQ為腰的等腰直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②取BC的中點(diǎn)N，連接NP，BQ．當(dāng)

PQ

NP+BQ

取最大值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）①首先求出直線AC的解析式和線段PQ的長(zhǎng)度，作為后續(xù)計(jì)算的基礎(chǔ)．
若△MPQ為等腰直角三角形，因?yàn)镻Q為直角邊，所以點(diǎn)M到PQ的距離為2

2

．此時(shí)，將直線AC向右平移4個(gè)單位后所得直線（y=x-5）與拋物線的交點(diǎn)，即為所求之M點(diǎn)；
②由①可知，PQ=為定值，因此當(dāng)NP+BQ取最小值時(shí)，有最大值．如答圖2所示，作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，由分析可知，當(dāng)B′、Q、F（AB中點(diǎn)）三點(diǎn)共線時(shí)，NP+BQ最小，進(jìn)而求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意，得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，-1）
∵拋物線過(guò)點(diǎn)A（0，-1），B（4，-1）兩點(diǎn)，

-1=c -1=- 1 2 ×42+4b+c

，
解得：

b=2 c=-1

；

（2）由（1）得 y=-

1

2

x2+2x-1．
①∵A的坐標(biāo)為（0，-1），C的坐標(biāo)為（4，3）．
∴直線AC的解析式為：y=x-1．
設(shè)平移前的拋物線的頂點(diǎn)為P₀，可得P₀（2，1），且P₀在直線AC上．
∴AP0=2

2

，
∵點(diǎn)P在直線AC上滑動(dòng)，且與直線AC交于另一點(diǎn)Q．
∴PQ=AP₀=2

2

，
∵PQ為直角邊，M到PQ的距離為2

2

（即為PQ的長(zhǎng)）．
由A（0，-1），B（4，-1），P₀（2，1）可知：
△ABP₀為等腰直角三角形，且BP₀⊥AC，BP₀=2

2

．
過(guò)點(diǎn)B作直線l₁∥AC，直線l₁與拋物線y=-

1

2

x²+2x-1的交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)M．
∴可設(shè)直線l₁的解析式為：y=x+b₁．
又∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，-1），
∴-1=4+b₁．解得b₁=-5．
∴直線l₁的解析式為：y=x-5．
解方程組

y=x-5 y=- 1 2 x2+2x-1

，
解得：

x=4 y=-1

或

x=-2 y=-7

，
∴M₁（4，-1），M₂（-2，-7）；
綜上所述，所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為：
M₁（4，-1），M₂（-2，-7）；
②取點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，易得點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（0，3），BQ=B′Q．
連接QF，F(xiàn)N，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，
∴四邊形PQFN為平行四邊形．
∴NP=FQ．
∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′
∴當(dāng)B′、Q、F三點(diǎn)共線時(shí)，NP+BQ最小，則

PQ

NP+BQ

取最大值，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(

4

3

，

1

3

)，
故答案為：(

4

3

，

1

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題為二次函數(shù)中考?jí)狠S題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、一次函數(shù)、幾何變換（平移，對(duì)稱）、等腰直角三角形、平行四邊形、軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)，考查了存在型問(wèn)題和分類討論的數(shù)學(xué)思想，試題難度較大．