Question

13．如圖1，已知一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y=-x²+bx+c過A、B兩點，且與x軸交于另一點C．
（1）求b、c的值；
（2）如圖1，點D為AC的中點，點E在線段BD上，且BE=2ED，連接CE并延長交拋物線于點M，求點M的坐標(biāo)；
（3）將直線AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)15°后交y軸于點G，連接CG，如圖2，P為△ACG內(nèi)一點，連接PA、PC、PG，分別以AP、AG為邊，在他們的左側(cè)作等邊△APR，等邊△AGQ，連接QR
①求證：PG=RQ；
②求PA+PC+PG的最小值，并求出當(dāng)PA+PC+PG取得最小值時點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A（-3，0），B（0，3）代入拋物線y=-x²+bx+c即可解決問題．
（2）首先求出A、C、D坐標(biāo)，根據(jù)BE=2ED，求出點E坐標(biāo)，求出直線CE，利用方程組求交點坐標(biāo)M．
（3）①欲證明PG=QR，只要證明△QAR≌△GAP即可．②當(dāng)Q、R、P、C共線時，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K，由sin∠ACM=$\frac{AM}{AC}$=$\frac{NQ}{QC}$求出AM，CM，利用等邊三角形性質(zhì)求出AP、PM、PC，由此即可解決問題．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，
∴A（-3，0），B（0，3），
∵拋物線y=-x²+bx+c過A、B兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-9-3b+c=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴b=-2，c=3．
（2），對于拋物線y=-x²-2x+3，令y=0，則-x²-2x+3=0，解得x=-3或1，
∴點C坐標(biāo)（1，0），
∵AD=DC=2，
∴點D坐標(biāo)（-1，0），
∵BE=2ED，
∴點E坐標(biāo)（-$\frac{2}{3}$，1），
設(shè)直線CE為y=kx+b，把E、C代入得到$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{3}k+b=1}\\{k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{5}}\\{b=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
∴直線CE為y=-$\frac{3}{5}$x+$\frac{3}{5}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{12}{5}}\\{y=\frac{51}{25}}\end{array}\right.$，
∴點M坐標(biāo)（-$\frac{12}{5}$，$\frac{51}{25}$）．
（3）①∵△AGQ，△APR是等邊三角形，
∴AP=AR，AQ=AG，∠QAC=∠RAP=60°，
∴∠QAR=∠GAP，
在△QAR和△GAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AQ=AG}\\{∠QAR=∠GAP}\\{AR=AP}\end{array}\right.$，
∴△QAR≌△GAP，
∴QR=PG．
②如圖3中，∵PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC，
∴當(dāng)Q、R、P、C共線時，PA+PG+PC最小，
作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K．
∵∠GAO=60°，AO=3，
∴AG=QG=AQ=6，∠AGO=30°，
∵∠QGA=60°，
∴∠QGO=90°，
∴點Q坐標(biāo)（-6，3$\sqrt{3}$），
在RT△QCN中，QN=3$\sqrt{3}$，CN=7，∠QNC=90°，
∴QC=$\sqrt{Q{N}^{2}+N{C}^{2}}$=2$\sqrt{19}$，
∵sin∠ACM=$\frac{AM}{AC}$=$\frac{NQ}{QC}$，
∴AM=$\frac{6\sqrt{57}}{19}$，
∵△APR是等邊三角形，
∴∠APM=60°，∵PM=PR，cos30°=$\frac{AM}{AP}$，
∴AP=$\frac{12\sqrt{19}}{19}$，PM=RM=$\frac{6\sqrt{19}}{19}$
∴MC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{14\sqrt{19}}{19}$，
∴PC=CM-PM=$\frac{8\sqrt{19}}{19}$，
∵$\frac{PK}{QN}$=$\frac{CP}{CQ}$=$\frac{CK}{CN}$，
∴CK=$\frac{28}{19}$，PK=$\frac{12\sqrt{3}}{19}$，
∴OK=CK-CO=$\frac{9}{19}$，
∴點P坐標(biāo)（-$\frac{9}{19}$，$\frac{12\sqrt{3}}{19}$）．
∴PA+PC+PG的最小值為2$\sqrt{19}$，此時點P的坐標(biāo)（-$\frac{9}{19}$，$\frac{12\sqrt{3}}{19}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解Q、R、P、C共線時，PA+PG+PC最小，學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考壓軸題．