Question

4．如圖1，E為矩形ABCD邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B沿折線BE-ED-DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/s．若P，Q同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），△BPQ的面積為y（cm²）．已知y與t的函數(shù)圖象如圖2，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　�。�

• A． AD=10cm
• B． sin∠EBC=$\frac{4}{5}$
• C． 當(dāng)t=15s時(shí)，△PBQ面積為30cm²
• D． 當(dāng)0＜t≤10時(shí)，y=$\frac{2}{5}$t²

Answer 1

分析 根據(jù)圖象可以得到BC和BE的長度，從而可以得到AD的長，可以判斷A；
作輔助線EF⊥BC于點(diǎn)F，由于EF=CD的長，從而可以得到sin∠EBC的值，可以判斷B；
根據(jù)題意可以分別求得在t=15s時(shí)，BQ、QP的長，從而得到△PBQ面積，可以判斷C；
根據(jù)函數(shù)圖象可以求得在0＜t≤10時(shí)，求得△BPQ底邊BQ上的高，從而可以得到△BPQ的面積的表達(dá)式，可以判斷D．

解答 解：由圖象可知，BC=BE=10，DE=14-10=4，
∴AD=10，故A正確；
AE=AD-DE=10-4=6cm，
作EF⊥BC于點(diǎn)F，作PM⊥BQ于點(diǎn)M，如圖所示，

由圖象可知，三角形PBQ的最大面積為40，
∴$\frac{1}{2}$BC•EF=$\frac{1}{2}$×10•EF=40，
解得EF=8，
∴sin∠EBC=$\frac{EF}{EB}$=$\frac{4}{5}$，故B正確；
當(dāng)t=15s時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，
由圖象可知，DE=4，
所以點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊DC上，且DP=15-10-4=1，如圖所示，

∴PC=8-1=7，
∴△PBQ面積=$\frac{1}{2}$×10×7=35（cm²），故C錯(cuò)誤；
當(dāng)0＜t≤10時(shí)，△BMP∽△BFE，
∴$\frac{PM}{EF}$=$\frac{BP}{BE}$，即$\frac{PM}{8}$=$\frac{t}{10}$，
解得PM=$\frac{4}{5}$t，
∴△BPQ的面積=$\frac{1}{2}$BQ•PM=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{4}{5}$t=$\frac{2}{5}$t²，
即y=$\frac{2}{5}$t²，故D正確；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想，找出所求問題需要的條件．突破點(diǎn)在于正確判斷出BC=BE=10cm．