Question

14．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線EF：y=kx+3與x軸，y軸分別交點E，F(xiàn)，△OEF為等腰直角三角形．
（1）求k的值；
（2）菱形ABCD的頂點A的坐標(biāo)為（2，0），點B的坐標(biāo)為（0，1），點C在第一象限，對角線BD與x軸平行，將菱形ABCD沿x軸向左平移m個單位，當(dāng)點D落在△EOF的內(nèi)部時（不包括三角形的邊），求m的取值范圍；
（3）如圖2，直線PQ：y=$\frac{1}{2}$x+2交x軸于點Q，點P（2，n），點M為PQ上一點，點S在x軸正半軸上，連接PS，過S作ST⊥PS，交y軸于點T，點G（-1，0），作射線MG交ST于點N，若PS=NS，求點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先確定點F坐標(biāo)（0，3），再利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出點E坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題；
（2）如圖1中，連接AC交BD于K，延長DB交EF于G．求出點G、D的坐標(biāo)，求出BD、BG即可解決問題；
（3）如圖2中，連接PG、PN、PN交x軸于H，MN交y軸于D，作PC⊥x軸于C．只要證明△DOG是等腰直角三角形，求出直線DG的解析式，利用方程組求出點M坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵直線EF：y=kx+3與x軸，y軸分別交點E，F(xiàn)，
∴F（0，3），
∵△EOF是等腰直角三角形，
∴OE=OF=3，
∴E（-3，0）代入y=kx+3中，解得k=1，
∴k=1．

（2）如圖1中，連接AC交BD于K，延長DB交EF于G．

∵菱形ABCD的頂點A的坐標(biāo)為（2，0），點B的坐標(biāo)為（0，1），點C在第一象限，對角線BD與x軸平行，
∴AC⊥BD，BK=DK=2，D（4，1），G（-2，1），
∴BD=4，DG=6，
∴當(dāng)4≤m≤6時，點D落在△EOF的內(nèi)部．

（3）如圖2中，連接PG、PN、PN交x軸于H，MN交y軸于D，作PC⊥x軸于C．

∵點P（2，n）在直線y=$\frac{1}{2}$x+2上，
∴P（2，3），∵G（-1，0），
∴PC=CG=3，
∴△PCG是等腰直角三角形，
∵△PNS是等腰直角三角形，
∴∠PGH=∠NHS=45°，∵∠GHP=∠NHS，
∴△PHG∽△SHN，
∴$\frac{GH}{HN}$=$\frac{PH}{SH}$，
∴$\frac{GH}{PH}$=$\frac{HN}{SH}$，∵∠PHS=∠GHN，
∴△PHS∽△GHN，
∴∠HPS=∠HGN=45°，
∴OG=OD=1，
∴D（0，-1），
∴A直線DM的解析式為y=-x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y=\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴點M坐標(biāo)為（-2，1）．

點評 本題考查一次函數(shù)綜合題、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．