Question

16．如圖，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A₁，∠A₁BC的平分線與∠A₁CD的平分線交于點(diǎn)A₂，…，∠A_n-1BC的平分線與∠A_n-1CD的平分線交于點(diǎn)A_n．設(shè)∠A=θ．則：
（1）求∠A₁的度數(shù)；
（2）∠A_n的度數(shù)．

Answer 1

分析 據(jù)角平分線的定義可得∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，整理即可求出∠A₁的度數(shù)，同理求出∠A₂，可以發(fā)現(xiàn)后一個(gè)角等于前一個(gè)角的$\frac{1}{2}$，根據(jù)此規(guī)律即可得解．

解答 解：∵A₁B是∠ABC的平分線，A₁C是∠ACD的平分線，
∴∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，
∴$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠A₁，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠A=β，
∴∠A₁=$\frac{β}{2}$；
同理可得∴∠A_n=$\frac{β}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖然后求出后一個(gè)角是前一個(gè)角的$\frac{1}{2}$是解題的關(guān)鍵．