Question

11．如圖，將邊長(zhǎng)為4的等邊三角形AOB放置于平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)F的反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）與OA邊交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)F作FC⊥x軸于點(diǎn)C，連結(jié)EF、OF．
（1）若S_△OCF=$\sqrt{3}$，求反比例函數(shù)的解析式．
（2）在（1）的條件下，試判斷以點(diǎn)E為圓心，EA長(zhǎng)為半徑的圓與y軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（3）在AB邊上是否存在點(diǎn)F，使得EF⊥AE？若存在，請(qǐng)求出BF的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)F（x，y），得到OC=x與CF=y，表示出三角形OCF的面積，求出xy的值，即為k的值，進(jìn)而確定出反比例解析式；
（2）過(guò)E作EH垂直于x軸，EG垂直于y軸，設(shè)OH為m，利用等邊三角形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)定義表示出EH與OE，進(jìn)而表示出E的坐標(biāo)，代入反比例解析式中求出m的值，確定出EG，OE，EH的長(zhǎng)，根據(jù)EA與EG的大小關(guān)系即可對(duì)于圓E與y軸的位置關(guān)系作出判斷；
（3）過(guò)E作EH垂直于x軸，設(shè)FB=x，利用等邊三角形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)定義表示出FC與BC，進(jìn)而表示出AF與OC，表示出AE與OE的長(zhǎng)，得出OE與EH的長(zhǎng)，表示出E與F坐標(biāo)，根據(jù)E與F都在反比例圖象上，得到橫縱坐標(biāo)乘積相等列出方程，求出方程的解得到x的值，即可求出BF與FA的比值．

解答 解：（1）設(shè)F（x，y），（x＞0，y＞0），則OC=x，CF=y，
∴S_△OCF=$\frac{1}{2}$xy=$\sqrt{3}$，
∴xy=2 $\sqrt{3}$，
∴k=2 $\sqrt{3}$，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$（x＞0）；

（2）該圓與y軸相離，
理由為：過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸，垂足為H，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥y軸，垂足為G，

在△AOB中，OA=AB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，
設(shè)OH=m，則tan∠AOB=$\frac{EH}{OH}$=$\sqrt{3}$，
∴EH=$\sqrt{3}$m，OE=2m，
∴E坐標(biāo)為（m，$\sqrt{3}$m），
∵E在反比例y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$圖象上，
∴$\sqrt{3}$m=$\frac{2\sqrt{3}}{m}$，
∴m₁=$\sqrt{2}$，m₂=-$\sqrt{2}$（舍去），
∴OE=2 $\sqrt{2}$，EA=4-2 $\sqrt{2}$，EG=$\sqrt{2}$，
∵4-2 $\sqrt{2}$＜$\sqrt{2}$，
∴EA＜EG，
∴以E為圓心，EA長(zhǎng)為半徑的圓與y軸相離；

（3）存在．
假設(shè)存在點(diǎn)F，使AE⊥FE，
過(guò)E點(diǎn)作EH⊥OB于點(diǎn)H，設(shè)BF=x．
∵△AOB是等邊三角形，
∴AB=OA=OB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，

∴BC=FB•cos∠FBC=$\frac{1}{2}$x，F(xiàn)C=FB•sin∠FBC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴AF=4-x，OC=OB-BC=4-$\frac{1}{2}$x，
∵AE⊥FE，
∴AE=AF•cosA=2-$\frac{1}{2}$x，
∴OE=OA-AE=$\frac{1}{2}$x+2，
∴OH=OE•cos∠AOB=$\frac{1}{4}$x+1，EH=OE•sin∠AOB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x+$\sqrt{3}$，
∴E（ $\frac{1}{4}$x+1，$\frac{\sqrt{3}}{4}$x+$\sqrt{3}$），F(xiàn)（4-$\frac{1}{2}$x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$x），
∵E、F都在雙曲線y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴（ $\frac{1}{4}$x+1）（ $\frac{\sqrt{3}}{4}$x+$\sqrt{3}$）=（4-$\frac{1}{2}$x）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
解得：x₁=4，x₂=$\frac{4}{5}$，
∵F是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)A、B重合），
∴x=4不合題意，
∴BF=$\frac{4}{5}$時(shí)，EF⊥AE．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．