Question

如圖，拋物線y=-x²-4x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于C點(diǎn)，問：在此拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使直線OP與拋物線只有點(diǎn)P這個(gè)公共點(diǎn)？若存在，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：設(shè)過點(diǎn)O的直線解析式為y=kx（k≠0），與拋物線解析式聯(lián)立消掉y得到關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)只有一個(gè)公共點(diǎn)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根△=0，求出x的值，再求出y的值即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)過點(diǎn)O的直線解析式為y=kx（k≠0），
聯(lián)立

y=kx y=-x2-4x+3

消掉y得，-x²-4x+3=kx，
整理得，x²+（4+k）x+3=0，
∵直線OP與拋物線只有點(diǎn)P這個(gè)公共點(diǎn)，
∴△=（4+k）²-4×3=0，
解得k=-4±2

3

，
x=

-b± b2-4ac

2a

=±

3

，
x=

3

時(shí)，y=-（

3

）²-4×

3

+3=-4

3

，
x=-

3

時(shí)，y=-（-

3

）²-4×（-

3

）+3=4

3

，
∴存在點(diǎn)P為（

3

，-4

3

）或（-

3

，4

3

）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)只有一個(gè)公共點(diǎn)，根的判別式△=0列出求出k的值是解題的關(guān)鍵．