Question

10．在平面直角坐標系中，已知A、B是拋物線y=ax²（a＞0）上兩個不同的點，其中A在第二象限，B在第一象限，
（1）如圖1所示，當直線AB與x軸平行，∠AOB=90°，且AB=2時，求此拋物線的解析式和A、B兩點的橫坐標的乘積．
（2）如圖2所示，在（1）所求得的拋物線上，當直線AB與x軸不平行，∠AOB仍為90°時，A、B兩點的橫坐標的乘積是否為常數(shù)？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．
（3）在（2）的條件下，若直線y=-2x-2分別交直線AB，y軸于點P、C，直線AB交y軸于點D，且∠BPC=∠OCP，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）如圖1，由AB與x軸平行，根據(jù)拋物線的對稱性有AE=BE=1，由于∠AOB=90°，得到OE=$\frac{1}{2}$AB=1，求出A（-1，1）、B（1，1），把x=1時，y=1代入y=ax²得：a=1得到拋物線的解析式y(tǒng)=x²，A、B兩點的橫坐標的乘積為x_A•x_B=-1
（2）如圖2，過A作AM⊥x軸于M，BN⊥x軸于N得到∠AMO=∠BNO=90°，證出△AMO∽△BON，得到OM•ON=AM•BN，設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），由于A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）在y=x²圖象上，得到y(tǒng)_A=${{x}_{A}}^{2}$，y_B=${{x}_{B}}^{2}$，即可得到結(jié)論；
（3）設(shè)A（m，m²），B（n，n²）．作輔助線，證明△AEO∽△OFB，得到mn=-1．再聯(lián)立直線m：y=kx+b與拋物線y=x²的解析式，由根與系數(shù)關(guān)系得到：mn=-b，所以b=1；由此得到OD、CD的長度，從而得到PD的長度；作輔助線，構(gòu)造Rt△PDG，由勾股定理求出點P的坐標．

解答 解：（1）如圖1，∵AB與x軸平行，
根據(jù)拋物線的對稱性有AE=BE=1，
∵∠AOB=90°，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴A（-1，1）、B（1，1），
把x=1時，y=1代入y=ax²得：a=1，
∴拋物線的解析式y(tǒng)=x²，
A、B兩點的橫坐標的乘積為x_A•x_B=-1
 
（2）x_A•x_B=-1為常數(shù)，
如圖2，過A作AM⊥x軸于M，BN⊥x軸于N，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
∴∠MAO+∠AOM=∠AOM+∠BON=90°，
∴∠MAO=∠BON，
∴△AMO∽△BON，
∴$\frac{AM}{ON}=\frac{OM}{BN}$，
∴OM•ON=AM•BN，
設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
∵A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）在y=x²圖象上，
∴，y_A=${{x}_{A}}^{2}$，y_B=${{x}_{B}}^{2}$，
∴-x_A•x_B=y_A•y_B=${{x}_{A}}^{2}$_•${{x}_{B}}^{2}$，
∴x_A•x_B=-1為常數(shù)；

（3）設(shè)A（m，m²），B（n，n²），
如圖3所示，過點A、B分別作x軸的垂線，垂足為E、F，則易證△AEO∽△OFB．
∴$\frac{AE}{OF}=\frac{OE}{BF}$，即$\frac{{m}^{2}}{n}=\frac{-m}{{n}^{2}}$，整理得：mn（mn+1）=0，
∵mn≠0，∴mn+1=0，即mn=-1．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y{=x}^{2}}\end{array}\right.$，得：x²-kx-b=0．
∵m，n是方程的兩個根，∴mn=-b．
∴b=1．
∵直線AB與y軸交于點D，則OD=1．
易知C（0，-2），OC=2，∴CD=OC+OD=3．
∵∠BPC=∠OCP，∴PD=CD=3．
設(shè)P（a，-2a-2），過點P作PG⊥y軸于點G，則PG=-a，GD=OG-OD=-2a-3．
在Rt△PDG中，由勾股定理得：PG²+GD²=PD²，
即：（-a）²+（-2a-3）²=3²，整理得：5a²+12a=0，
解得a=0（舍去）或a=-$\frac{12}{5}$，
當a=-$\frac{12}{5}$時，-2a-2=$\frac{14}{5}$，
∴P（-$\frac{12}{5}$，$\frac{14}{5}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、一元二次方程等知識點，有一定的難度．第（3）問中，注意根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用．