Question

20．如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=100°，∠BOC=α．以O(shè)C為一邊作等邊三角形OCD，連接AC、AD．
（1）求證：△ACD≌△BCO；
（2）當(dāng)α=150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)△AOD是等腰三角形時(shí)，求α的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出∠ABC=∠CAB=∠ODC=∠DOC=60°，BC=AC，CO=CD，∠ACB=∠DCO=60°，求出∠ACD=∠BCO，根據(jù)SAS證出糧三角形全等即可；
（2）首先根據(jù)已知條件可以證明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性質(zhì)可以求出∠ADO的度數(shù)，由此即可判定△AOD的形狀；
（3）分三種情況討論，利用已知條件及等腰三角形的性質(zhì)即可求解．

解答 解：（1）∵△ABC和△ODC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠CAB=∠ODC=∠DOC=60°，BC=AC，CO=CD，∠ACB=∠DCO=60°，
∴∠ACB-∠ACO=∠DCO-∠ACO，
∴∠ACD=∠BCO，
在△BOC和△ADC中
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCO=∠ACD}\\{OC=CD}\end{array}\right.$，
∴△BOC≌△ADC（SAS）；

（2）△ADO是直角三角形．
∵△OCD是等邊三角形，
∴OC=CD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AC，
∵∠ACB=∠OCD=60°，
∴∠BCO=∠ACD，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC=∠ADC，
∵∠BOC=α=150°，∠ODC=60°，
∴∠ADO=150°-60°=90°，
∴△ADO是直角三角形；

（3）∵∠COB=∠CAD=α，∠AOD=200°-α，∠ADO=α-60°，∠OAD=40°，
①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∴200°-α=α-60°，
∴α=130°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，
∴α-60°=40°，
∴α=100°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，
∴200°-α=40°，
∴α=160°．
所以，當(dāng)α為130°、100°、160°時(shí)，△AOD是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，以及等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)等腰三角形進(jìn)行分類(lèi)討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．