Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax²-3ax-4a（a＜0）．
（1）求證：無論a為何值，該拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）該拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為C點(diǎn)，已知△ABC的面積為7.5，求此拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為N，若點(diǎn)M是線段BN上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線MD⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)D，記點(diǎn)D關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為E，點(diǎn)P是線段MD上一點(diǎn)，且滿足MD=3DP，連結(jié)DE，PE，作PF⊥PE交x軸于點(diǎn)F，問是否存在這樣的點(diǎn)F，使得PF=PE？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）欲證明無論a為何值，該拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)，只要證明△＞0即可；
（2）對(duì)于拋物線y=ax²-3ax-4a（a＜0），令y=0，ax²-3ax-4a=0，解得x=-1或4，推出A（-1，0），B（4，0），令x=0，y=-4a，推出C（0，-4a），由題意$\frac{1}{2}$•5•（-4a）=7.5，求出a即可解決問題；
（3）如圖，假設(shè)存在，MD=3DP，設(shè)DP=m，則DM=3m，PM=2m．由△EDP≌△PMF，推出DE=PM=2m，易知NM=m，可得D（$\frac{3}{2}$+m，3m），把點(diǎn)D（$\frac{3}{2}$+m，3m）代入y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3．得到3m=-$\frac{3}{4}$（$\frac{3}{2}$+m）²+$\frac{9}{4}$（$\frac{3}{2}$+m）+3，解方程即可解決問題；

解答 解：（1）對(duì)于拋物線y=ax²-3ax-4a（a＜0），
∵△=（-3a）²-4•a•（-4a）=9a²+16a²=25a²，
∵a＜0，
∴△＞0，
∴無論a為何值，該拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)．

（2）對(duì)于拋物線y=ax²-3ax-4a（a＜0），
令y=0，ax²-3ax-4a=0，解得x=-1或4，
∴A（-1，0），B（4，0），
令x=0，y=-4a，
∴C（0，-4a），
由題意$\frac{1}{2}$•5•（-4a）=7.5，
∴a=-$\frac{3}{4}$，
∴此拋物線的解析式y(tǒng)=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3．

（3）如圖，假設(shè)存在，MD=3DP，設(shè)DP=m，則DM=3m，PM=2m．

∵PE=PF，
∵PE⊥PF，
∴∠EPF=90°，
∴∠EPD+∠FPM=90°，
∵∠EPD+∠PED=90°，
∴∠PED=∠FPM，∵∠EDP=∠PMF，
∴△EDP≌△PMF，
∴DE=PM=2m，易知NM=m，
∴D（$\frac{3}{2}$+m，3m），把點(diǎn)D（$\frac{3}{2}$+m，3m）代入y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3．
∴3m=-$\frac{3}{4}$（$\frac{3}{2}$+m）²+$\frac{9}{4}$（$\frac{3}{2}$+m）+3，
解得m=$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$或$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$（舍棄），
∴D（$\frac{\sqrt{41}}{2}$，$\frac{-9+3\sqrt{41}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．