Question

18．如圖，點(diǎn)P是y軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作AB∥x軸，分別交反比例函數(shù)y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）與y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的圖象于點(diǎn)A，B，連接OA，OB，則以下結(jié)論：①AP=2BP；②∠AOP=2∠BOP；③△AOB的面積為定值；④△AOB是等腰三角形，其中一定正確的有（　�。﹤�(gè)．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 設(shè)P的坐標(biāo)為（0，m），過(guò)點(diǎn)A、B作AC⊥x軸于點(diǎn)C、BD⊥x軸于點(diǎn)D，分別求出C、D的坐標(biāo)，根據(jù)OA、OB、AB的長(zhǎng)度即可判斷．

解答 解：設(shè)P的坐標(biāo)為（0，b），b＞0
過(guò)點(diǎn)A、B作AC⊥x軸于點(diǎn)C、BD⊥x軸于點(diǎn)D，
令y=m分別代入y=-$\frac{2}{x}$，y=$\frac{1}{x}$，
∴A（$-\frac{2}$，b），B（$\frac{1}$，b）
∴AB=$\frac{3}$，AP=$\frac{2}$，BP=$\frac{1}$，
∴AP=2AB，故①正確；
tan∠AOP=$\frac{AP}{OP}$=$\frac{2}{^{2}}$，tan∠BOP=$\frac{BP}{OP}$=$\frac{1}{^{2}}$，
∴tan∠AOP=2tan∠BOP，但∠AOP≠BOP，故②錯(cuò)誤；
△ABO的面積為：$\frac{1}{2}$AB•OP=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}$×b=$\frac{3}{2}$，故③正確；
由勾股定理可知：OA²=$\frac{4}{^{2}}$+b²，OB²=b²+$\frac{1}{^{2}}$，
∵AB²=$\frac{9}{^{2}}$，
∴OA、OB、OA三邊不一定相等，故④錯(cuò)誤；
故選（B）

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù) 的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用反比例函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，本題數(shù)中等題型．