Question

15．在△ABC中，∠ABC=90°，分別以邊AB、BC、CA向△ABC外作正方形ABHI、正方形BCGF、正方形CAED，連接GD，AG，BD．

（1）如圖1，探索AG與BD的關(guān)系；
（2）如圖2，試說明：S_△ABC=S_△CDG．（提示：正方形的四條邊相等，四個(gè)角均為直角）

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)就可以得出△ACG≌△DCB，就可以得出結(jié)論；
（2）延長DC交GF于H，證明△BMC≌△GNC，就可以得出BM=GN，就可以得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABHI、四邊形BCGF和四邊形CAED都是正方形，
∴AB=BH=HI=AI，BC=CG=GF=BF，AE=DE=CD=AC，∠H=∠I=∠E=∠F=∠IAB=∠ABH=∠FBC=∠BCG=∠FGC=∠BAC=∠ACD=90°．
∴∠ACD+∠ACB=∠BCG+∠ACB，
∴∠DCB=∠ACG，
在△ACG和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACG=∠DCB}\\{BC=GC}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△DCB（SAS），
∴AG=BD；

（2）如圖，作BM⊥AC于M，GN⊥DC的延長于點(diǎn)N，
∴∠BMC=∠N=90°
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△BMC和△GNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{∠BMC=∠N}\\{BC=GC}\end{array}\right.$，
∴△BMC≌△GNC（AAS），
∴BM=GN，
∴$\frac{1}{2}$AC•BM=$\frac{1}{2}$DC•GN，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BM，S_△DCG=$\frac{1}{2}$DC•GN，
∴S_△ABC=S_△CDG．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形全等的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，在解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．