Question

19．如圖，點(diǎn)O是?ABCD對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線ME、NF交邊于M、E、N、F，求證：MN$\stackrel{∥}{=}$EF．

Answer 1

分析 先證明△AOF≌△CON（ASA），得出AE=CN，同理得出AM=CE，再證明△AMF≌△CEN，得出對(duì)應(yīng)邊相等MF=EN，同理得出MN=EF，證出四邊形MNEF是平行四邊形，即可得出結(jié)論．

解答 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，∠BAD=∠BCD，
∴∠OAF=∠OCN，
∵O是AC的中點(diǎn)，
∴OA=OC，
在△AOF和△CON中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOF=∠CON}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\\{∠OAF=∠OCN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△CON（ASA），
∴AE=CN，
同理：AM=CE，
在△AMF和△CEN中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=CN}&{\;}\\{∠MAF=∠ECN}&{\;}\\{AM=CE}&{\;}\end{array}\right.$
∴△AMF≌△CEN（SAS），
∴MF=EN，
同理：MN=EF，
∴四邊形MNEF是平行四邊形，
∴MN∥EF，MN=EF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，通過(guò)證明三角形全等得出對(duì)應(yīng)邊相等證明平行四邊形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．