Question

2．$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$=$\frac{4}{5}$的正整數(shù)解有（　�。┙M．

• A． 0
• B． 8
• C． 12
• D． 16

Answer 1

分析 從x，y，z是正整數(shù)入手，確定它們倒數(shù)的取值范圍，從而確定x，y的取值，進(jìn)而得出z的取值．

解答 解：∵x，y，z是正整數(shù)，并且$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$=$\frac{4}{5}$＜1
∴x，y，z都＞1，不妨設(shè)1＜x≤y≤z，
∴$\frac{1}{x}$≥$\frac{1}{y}$≥$\frac{1}{z}$，于是$\frac{1}{x}$＜$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$≤$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{3}{x}$，即$\frac{1}{x}$＜$\frac{4}{5}$≤$\frac{3}{x}$，
∴$\frac{5}{4}$＜x≤$\frac{15}{4}$，可確定x=2或3，
當(dāng)x=2時，得$\frac{1}{y}$＜$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$=$\frac{4}{5}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{10}$≤$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{2}{y}$，
即$\frac{1}{y}$＜$\frac{3}{10}$≤$\frac{2}{y}$，
∴$\frac{10}{3}$＜y≤$\frac{20}{3}$，可知y=4或5或6．
當(dāng)x=3時，由$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$=$\frac{4}{5}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{7}{15}$得：$\frac{1}{y}$＜$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$=$\frac{7}{15}$≤$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{2}{y}$，
即$\frac{1}{y}$＜$\frac{7}{15}$≤$\frac{2}{y}$，
∴$\frac{15}{7}$＜y≤$\frac{30}{7}$，可知y=3或4，
當(dāng)x=2，y=4時，z=20；
當(dāng)x=2，y=5時，z=10；
當(dāng)x=2，y=6時，z=7.5（舍去）；
當(dāng)x=3，y=3時，z=7.5（舍去）；
當(dāng)x=3，y=4時，z=$\frac{60}{13}$（舍去）；
因此，當(dāng)1＜x≤y≤z時，（x，y，z）為（2，4，20），（2，5，10），共2組，
由于x，y，z在方程中地位平等，所以可得12組解為（2，4，20），（2，20，4），（4，2，20），（4，20，2），（20，2，4），（20，4，2），（2，5，10），（2，10，5），（5，2，10），（5，10，2），（10，2，5），（10，5，2）．
故選：C．

點評 此題主要考查了非一次不定方程（組），分式方程整數(shù)根的求法，以及利用極值法確定未知數(shù)的范圍，題目綜合性較強(qiáng)．