Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結論：
①方程ax²+bx+c=0的兩根之和大于0；②abc＜0；③y隨x的增大而增大；
④a-b+c＜0；⑤a+b＜0． 其中正確的是

 

．（填序號）

Answer 1

考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系

專題：數(shù)形結合

分析：由拋物線開口方向得到a＜0，由拋物線的對稱軸在y軸的右側得到ab＜0，則b＞0，再根據(jù)根與系數(shù)的關系得到ax²+bx+c=0的兩根之和等于-

b

a

，于是可判斷方程ax²+bx+c=0的兩根之和大于0；由拋物線與y軸的交點在x軸上方得到c＞0，則可判斷abc＜0；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到當x＜-

b

2a

時，y隨x的增大而增大；根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點在原點和（-1，0）之間，則當x=-1時，y＜0，即可得到a-b+c＜0；由于x=1時，y＜0，所以a+b+c＜0，利用c＞0，即可得到a+b＜0．

解答：解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線的對稱軸在y軸的右側，
∴ab＜0，
∴b＞0，
而ax²+bx+c=0的兩根之和等于-

b

a

，
∴方程ax²+bx+c=0的兩根之和大于0，所以①正確；
∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②正確；
∵拋物線的對稱軸為直線x=-

b

2a

，
∴當x＜-

b

2a

時，y隨x的增大而增大，所以③錯誤；
∵拋物線與x軸的一個交點在原點和（1，0）之間，
∴拋物線與x軸的另一個交點在原點和（-1，0）之間，
∴當x=-1時，y＜0，即a-b+c＜0，所以④正確；
∵x=1時，y＜0，即a+b+c＜0，
而c＞0，
∴a+b＜0，所以⑤正確．
故答案為①②④⑤．

點評：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置，當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點． 拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定，△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．