Question

△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M是AB邊的中點(diǎn)．
（1）如圖1，若P，Q分別在邊BC和CA上，且BP=CQ．通過(guò)觀察或測(cè)量，猜想△MPQ的形狀，并給予證明；
（2）如圖2，若P，Q分別在BC和CA的延長(zhǎng)線上，且BP=CQ，△MPQ的形狀與（1）中相比，是否會(huì)有變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）連接CM，易證△CMQ≌△BMP，可得∠BMP=∠CMQ，QM=PM，根據(jù)∠CMP+∠BMP=90°即可求得△MPQ是等腰直角三角形，即可解題；
（2）連接CM，易證△AQM≌△CPM，可得QM=PM，∠QMA=∠PMC，根據(jù)∠PMC+∠PMA=90°即可求得△MPQ是等腰直角三角形，即可解題．

解答：證明：

（1）連接CM，
∵∠ACB=90°，AC=BC，M是AB邊的中點(diǎn)，
∴CM=BM，∠ACM=∠B=45°，CM⊥AB，
∵在△CMQ和△BMP中，

BP=CQ ∠ACM=∠B CM=BM

，
∴△CMQ≌△BMP，（SAS）
∴∠BMP=∠CMQ，QM=PM，
∵∠CMP+∠BMP=90°，
∴∠CMQ+∠CMP=90°，即∠QMP=90°；
∴△MPQ是等腰直角三角形；
（2）連接CM，
∵∠ACB=90°，AC=BC，M是AB邊的中點(diǎn)，
∴CM=AM，∠ACM=∠CAM=45°，CM⊥AB，
∴∠PCM=45°+90°=135°，
∠QAM=180°-45°=135°，
∵在△AQM和△CPM中，

QA=PC ∠QAM=∠PCM CM=AM

，
∴△AQM≌△CPM，（SAS）
∴QM=PM，∠QMA=∠PMC，
∵∠PMC+∠PMA=90°，
∴∠QMA+∠PMA=90°，
∴△MPQ是等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△CMQ≌△BMP和△AQM≌△CPM是解題的關(guān)鍵．