Question

11．已知：如圖1，在平面直角坐標(biāo)中，A（12，0），B（6，6），點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)C對稱．
（1）利用直尺和圓規(guī)在圖1中作出點(diǎn)D的位置（保留作圖痕跡），判斷四邊形OBDA的形狀，并說明理由；
（2）在圖1中，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段OA運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒a個(gè)單位的速度沿OB→BD→DA運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．
①當(dāng)t=4時(shí)，直線EF恰好平分四邊形OBDA的面積，求a的值；
②當(dāng)t=5時(shí)，CE=CF，請直接寫出a的值．

Answer 1

分析 （1）作射線OC，截取CD=OC，然后由對角線互相平分的四邊形是平行四邊形進(jìn)行可得到四邊形的形狀；
（2）①由直線EF恰好平分四邊形OBDA的面積可知直線EF必過C，接下來，證明△OEC≌△DFC，從而可求得DF的長度，于是得到BF=8，然后再由兩點(diǎn)間的距離公式求得OB的長，從而可求得a的值；
②先求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后求得EC的長，從而得到CF₁的長，然后依據(jù)勾股定理的逆定理證明∠OBA=90°，在△BCF₁中，依據(jù)勾股定理可求得BF₁的長，從而可求得a的值，設(shè)點(diǎn)F₂的坐標(biāo)（b，6），由CE=CF列出關(guān)于b的方程可求得點(diǎn)F₂的坐標(biāo)，從而可求得a的值，在Rt△CAF₃中，取得AF₃的長，從而求得點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路程，于是可求得a的值．

解答 解：（1）如圖所示：

四邊形OBDA是平行四邊形．
理由如下：∵點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，
∴CB=CA．
∵點(diǎn)D與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)C對稱，
∴CO=CD．
∴四邊形OBDA是平行四邊形．
（2）①如圖2所示；

∵直線EF恰好平分四邊形OBDA的面積，
∴直線EF必過C（9，3）．
∵t=4，
∴OE=4．
∵BD∥OA，
∴∠COE=∠CDF．
∵在△OEC和△DFC中$\left\{\begin{array}{l}{∠COE=∠CDF}\\{OC=OD}\\{∠OCE=∠DCF}\end{array}\right.$，
∴△OEC≌△DFC．
∴DF=OE=4．
∴BF=12-4=8．
由兩點(diǎn)間的距離公式可知OB=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$．
∴4a=6$\sqrt{2}$+8．
∴a=2+$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$．
②如圖3所示：

∵當(dāng)t=5時(shí)，OE=5，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)（5，0）．
由兩點(diǎn)間的距離公式可知EC=$\sqrt{（9-5）^{2}+（3-0）^{2}}$=5．
∵CE=CF，
∴CF=5．
由兩點(diǎn)間的距離公式可知OB=BA=6$\sqrt{2}$，
又∵OA=12．
∴△OBA為直角三角形．
∴∠OBA=90°．
①在直角△F₁BC中，CF₁=5，BC=3$\sqrt{2}$，
∴BF₁=$\sqrt{7}$．
∴OF₁=6$\sqrt{2}$-$\sqrt{7}$．
∴a=$\frac{6\sqrt{2}-\sqrt{7}}{5}$．
②設(shè)F₂的坐標(biāo)為（b，6）．由兩點(diǎn)間的距離公式可知$\sqrt{（9-b）^{2}+（6-3）^{2}}$=5．
解得；b=5（舍去）或b=13．
∴BF₂=13-6=7．
∴OB+BF₂=6$\sqrt{2}$+7．
∴a=$\frac{6\sqrt{2}+7}{5}$．
③∵BO∥AD，
∴∠BAD=∠OBA=90°．
∴AF₃=$\sqrt{C{{F}_{3}}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
∴DF₃=6$\sqrt{2}$-$\sqrt{7}$．
∴OB+BD+DF₃=6$\sqrt{2}$+12+6$\sqrt{2}$-$\sqrt{7}$=12$\sqrt{2}$-$\sqrt{7}$+12．
∴a=$\frac{12\sqrt{2}-\sqrt{7}+12}{5}$．
綜上所述a的值為$\frac{6\sqrt{2}-\sqrt{7}}{5}$或$\frac{6\sqrt{2}+7}{5}$或$\frac{12\sqrt{2}-\sqrt{7}+12}{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查的是四邊形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了平行四邊形的判定、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理和勾股定理的逆定理的應(yīng)用，兩點(diǎn)間的距離公式求得F₁B，F(xiàn)₂D，F(xiàn)₃A的長度是解題的關(guān)鍵．