Question

在解決線段數(shù)量關(guān)系問題中，如果條件中有角平分線，經(jīng)常采用下面構(gòu)造全等三角形的解決思路，如：在圖1中，若C是∠MON的平分線OP上一點(diǎn)，點(diǎn)A在OM上，此時，在ON上截取OB=OA，連接BC，根據(jù)三角形全等判定（SAS），容易構(gòu)造出全等三角形△OBC和△OAC，參考上面的方法，解答下列問題：

如圖2，在非等邊△ABC中，∠B=60°，AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，且AD，CE交于點(diǎn)F，求證：AC=AE+CD．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：在AC上截取AG=AE，連接FG，根據(jù)“邊角邊”證明△AEF和△AGF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠AFE=∠AFG，全等三角形對應(yīng)邊相等可得FE=FG，再根據(jù)角平分線的定義以及三角形的內(nèi)角和定理推出∠2+∠3=60°，從而得到∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，然后根據(jù)平角等于180°推出∠CFG=60°，然后利用“角邊角”證明△CFG和△CFD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得FG=FD，從而得證．

解答：證明：如圖，在AC上截取AG=AE，連接FG．
∵AD是∠BAC的平分線，CE是∠BCA的平分線，
∴∠1=∠2，3=∠4
在△AEF和△AGF中，

AE=AG ∠1=∠2 AF=AF

，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AFE=∠AFG，
∵∠B=60°
∴∠BAC=∠ACB=120°，
∴∠2+∠3=

1

2

（∠BAC+∠ACB）=60°，
∵∠AFE=∠2+∠3，
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60，
∴∠CFG=180°-∠CFD-∠AFG=60°，
∴∠CFD=∠CFG，
在△CFG和△CFD中，

∠CFG=∠CFD FC=FC ∠3=∠4

，
∴△CFG≌△CFD（ASA），
∴CG=CD，
∴AC=AG+CG=AE+CD．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，根據(jù)所求角度正好等于60°得到角相等是解題的關(guān)鍵．