Question

12．已知點(diǎn)C，D在以AB為直徑的圓O上，且CD平分∠ACB，若AB=4，∠CBA=15°，求CD的長．

Answer 1

分析 過點(diǎn)O作OE⊥CD，連接OC，根據(jù)AB為直徑得出∠ACB=90°，再根據(jù)角平分線得出∠BCD=45°，由∠CBA=15°，得∠OCB=15°，即可得出∠OCE=30°，由直角三角形的性質(zhì)得出OE，從而得出CE，由垂徑定理得出CD即可．

解答 解：過點(diǎn)O作OE⊥CD，連接OC，
∴CE=DE，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=45°，
∵∠CBA=15°，
∴∠OCB=15°，
∴∠OCE=30°，
∴OE=$\frac{1}{2}$OC，
∵AB=4，
∴OC=2，
∴OE=1，
∴CE=$\sqrt{O{C}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
∴CD=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．也考查了勾股定理和三角形相似的判定與性質(zhì)．