Question

20．（1）求證：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．
（2）如圖，AD是△ABC的角平分線，求證：$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$．

Answer 1

分析 （1）先寫(xiě)出已知、求證，根據(jù)角平分線的定義得到∠POE=∠POF，由垂直的定義得∠PEO=∠PFO=90°，易證得△PEO≌△PFO，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)即可得到PE=PF；
（2）先過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由于BE∥AC，利用平行線分線段成比例定理的推論、平行線的性質(zhì)，可得△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再利用相似三角形的性質(zhì)可有$\frac{BD}{CD}=\frac{BE}{AC}$，而利用AD時(shí)角平分線又知∠E=∠DAC=∠BAD，于是BE=AB，等量代換即可證．

解答 解：已知：OC平分∠AOB，點(diǎn)P為OC上任一點(diǎn)，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
求證：PE=PF已知：OC平分∠AOB，點(diǎn)P為OC上任一點(diǎn)，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
求證：PE=PF
證明：∵OC平分∠AOB，
∴∠POE=∠POF，
∵PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴∠PEO=∠PFO=90°，
在△PEO和△PFO中$\left\{\begin{array}{l}{∠PEO=∠PFO}\\{∠POE=∠POF}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△PEO≌△PFO（AAS），
∴PE=PF，
∴角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等；
（2）如圖

過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
∵BE∥AC，
∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD，
∴△BDE∽△CDA，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{BE}{AC}$，
又∵AD是角平分線，
∴∠E=∠DAC=∠BAD，
∴BE=AB，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．