Question

14．如圖，把含30°角的三角板放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，∠AOB=90°，∠B=30°，OA=2，斜邊AB∥x軸，點(diǎn)A在雙曲線上．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）把三角板AOB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C落在x軸的負(fù)半軸上，AB的對(duì)應(yīng)線段為AD，試判斷點(diǎn)D是否在雙曲線上？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖，先求出∠AOE=30°，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出AE和OE，從而得到A點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；
（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC=AO，∠CAO=∠BAD，則可判斷△AOC為等邊三角形，得到∠CAO=∠BAD=60°，于是可判斷點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上，然后通過證明點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得到點(diǎn)D是在雙曲線上．

解答 解：（1）如圖，∵∠AOB=90°，∠B=30°，
∴∠BAO=60°，AB=2OA=4，
∵斜邊AB∥x軸，
∴∠AOE=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$OA=1，OE=$\sqrt{3}$AE=$\sqrt{3}$，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，$\sqrt{3}$），
設(shè)反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=$\frac{k}{x}$，
把A（-1，$\sqrt{3}$）代入得k=-1×$\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$；
（2）點(diǎn)D是在雙曲線上．理由如下：
∵三角板AOB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C落在x軸的負(fù)半軸上，
∴AC=AO，∠CAO=∠BAD，
而∠AOC=60°，
∴△AOC為等邊三角形，
∴∠CAO=60°，
∴∠BAD=60°，
∵∠BAC=60°，
∴點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上，
而AB=AD=2，AO=2，
∴OA=OD=2，
∴點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴點(diǎn)D是在雙曲線上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式：先設(shè)出含有待定系數(shù)的反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，k≠0）；再把已知條件（自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值）帶入解析式，得到待定系數(shù)的方程；接著解方程，求出待定系數(shù)；然后寫出解析式．解決（2）小題的關(guān)鍵是確定旋轉(zhuǎn)角為60°．