Question

2．如圖①，在正方形ABCD中，F(xiàn)是對角線AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長線上，且BF=EF．
（1）求證：BF=DF；
（2）求證：∠DFE=90°；
（3）如果把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖②），當(dāng)∠ABC=50°時(shí)，∠DFE=50度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的四條邊都相等可得BC=DC，對角線平分一組對角可得∠BCF=∠DCF，然后利用“邊角邊”證明即可；
（2）易證∠FBE=∠FEB，又因?yàn)椤螰BE=∠FDC，所以可證明∠FEB=∠FDC，進(jìn)而可證明∠DFE=90°；
（3）根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠CBF=∠CDF，根據(jù)等邊對等角可得∠CBF=∠E，然后求出∠DFE=∠DCE，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，從而得解．

解答 （1）證明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCF=∠DCF=45°，
∵在△BCF和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BC}\\{∠BCF=∠DCF}\\{FC=FC}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△DCF（SAS）；
∴BF=DF；
（2）證明：∵BF=EF，
∴∠FBE=∠FEB，
又∵∠FBE=∠FDC，
∴∠FEB=∠FDC，
又∵∠DGF=∠EGC，
∴∠DFG=∠ECG=90°，
即∠DFE=90°；
（3）證明：由（1）知，△BCF≌△DCF，
∴∠CBF=∠CDF，
∵EE=FB，
∴∠CBF=∠E，
∵∠DGF=∠EGC（對頂角相等），
∴180°-∠DGF-∠CDF=180°-∠EGC-∠E，
即∠DFE=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠ABC，
∴∠DFE=∠ABC=50°，
故答案為：50．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)確定出∠BCF=∠DCF是解題的關(guān)鍵．