Question

14．已知拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)位于B點(diǎn)的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P，則：
（1）S_△AOC=$\frac{3}{2}$；
（2）S_△BOC=$\frac{9}{2}$；
（3）S_△ABC=6；
（4）S_△COP=$\frac{3}{2}$；
（5）S_△PAB=8；
（6）S_△PCB=3；
（7）S_△ACP=1；
（8）若D為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)C不重合），且S_△ABD=S_△ABC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)位于B點(diǎn)的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P，可以分別求得點(diǎn)A、B、C、P的坐標(biāo)，從而可以求得各三角形的面積，第（8）問中兩個(gè)三角形面積相等，可知兩個(gè)三角形以AB為底邊，高相等，從而可以求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答 解：將y=0代入y=-x²+2x+3，得-x²+2x+3=0，
解得，x=-1或x=3，
即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
將x=0代入y=-x²+2x+3，得y=3，
即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4），
∴（1）${S}_{△AOC}=\frac{AO•OC}{2}=\frac{1×3}{2}=\frac{3}{2}$，
（2）${S}_{△BOC}=\frac{BO•OC}{2}=\frac{3×3}{2}=\frac{9}{2}$，
（3）${S}_{△ABC}=\frac{AB•OC}{2}=\frac{4×3}{2}=6$，
（4）${S}_{△COP}=\frac{3×1}{2}=\frac{3}{2}$，
（5）${S}_{△PAB}=\frac{4×4}{2}=8$，
（6）${S}_{△PCB}=\frac{（3+4）×1}{2}+\frac{2×4}{2}-\frac{3×3}{2}$=3，
（7）${S}_{△ACP}=\frac{1×3}{2}+\frac{（3+4）×1}{2}-\frac{2×4}{2}$=1，
故答案為：$\frac{3}{2}，\frac{9}{2}，6，\frac{3}{2}，8，3，1$．
（8）∵S_△ABD=S_△ABC，D為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)C不重合），
∴將y=3代入y=-x²+2x+3，得x=2或x=0（舍去），
將y=-3代入y=-x²+2x+3，得$x=1+\sqrt{7}$或x=1-$\sqrt{7}$，
即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，3）或（$1+\sqrt{7}$，-3）或（1-$\sqrt{7}$，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．