Question

7．小唐同學(xué)在操場(chǎng)上放風(fēng)箏，風(fēng)箏從A處起飛，幾分鐘后便飛達(dá)C處，此時(shí)，在AQ延長(zhǎng)線(xiàn)上B處的小宋同學(xué)，發(fā)現(xiàn)自己的位置與風(fēng)箏和旗桿PQ的頂點(diǎn)P在同一直線(xiàn)上．
（1）如圖①，已知旗桿PQ高為10米，若在B處測(cè)得旗桿頂點(diǎn)P的仰角為30°，在A處測(cè)得點(diǎn)P的仰角為45°，求A，B之間的距離；
（2）如圖②，在（1）的條件下，在A處測(cè)得風(fēng)箏的仰角為75°，若繩子在空中視為一條線(xiàn)段，求繩子AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）首先分析圖形：根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形在直角三角形△BPQ中求出AQ的長(zhǎng)度，然后求出AB=BQ+AQ；
（2）過(guò)A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，求出AE的長(zhǎng)度，然后在△CAE中求出AC的長(zhǎng)度；

解答 解：（1）在Rt△BPQ中，PQ=10米，∠B=30°，
∴∠BPQ=90°-30°=60°，
則BQ=tan60°×PQ=10$\sqrt{3}$，
又在Rt△APQ中，∠PAB=∠APQ=45°，
則AQ=tan45°×PQ=10，
即AB=10$\sqrt{3}$+10（米）；

（2）過(guò)A作AE⊥BC于E，
在Rt△ABE中，∠B=30°，AB=10$\sqrt{3}$+10，
∴AE=sin30°×AB=$\frac{1}{2}$（10$\sqrt{3}$+10）=5$\sqrt{3}$+5（米）．
∵∠CAD=75°，∠B=30°，
∴∠C=45°，
在Rt△CAE中，sin45°=$\frac{AE}{AC}$，
∴AC=$\frac{AE}{sin45°}$=$\frac{5\sqrt{3}+5}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=5$\sqrt{6}$+5$\sqrt{2}$（米）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)解直角三角形．