Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=$\frac{1}{6}$x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（8，6）交x負(fù)半軸于點(diǎn)B（-4，0），直線AB交y軸于C，點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)Q．
（1）求拋物線和直線AB的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m；
①用含有m的代數(shù)式表示線段PQ的長(zhǎng)．
②當(dāng)四邊形CDPQ為平行四邊形時(shí)，求m的值．
（3）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E．若PE恰好被x軸平分，則AQ：QE：EB=15：7：14．．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線y=$\frac{1}{6}$x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（8，6）交x負(fù)半軸于點(diǎn)B（-4，0），運(yùn)用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，和直線的解析式即可；
（2）根據(jù)四邊形CDPQ為平行四邊形，利用PQ=CD，列出方程$-\frac{1}{6}{m^2}+\frac{2}{3}m+\frac{16}{3}$=$\frac{16}{3}$，解得：m₁=4，m₂=0（舍去），即可得到m的值為4；
（3）根據(jù)拋物線的解析式：$y=\frac{1}{6}{x^2}-\frac{1}{6}x-\frac{10}{3}$，設(shè)P（a，b）（-4＜a＜8），得到b=$\frac{1}{6}{a}^{2}-\frac{1}{6}a-\frac{10}{3}$①，再根據(jù)直線AB的解析式：$y=\frac{1}{2}x+2$，得到Q（a，$\frac{1}{2}$a+2），根據(jù)PE⊥AB，得到直線PE的解析式為y=-2x+2a+b，再解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+2}\\{y=-2x+2a+b}\end{array}\right.$，可得E的坐標(biāo)，最后根據(jù)PE恰好被x軸平分，得出$\frac{2a+b+8}{5}$+b=0②，最后聯(lián)立①②解方程組可得$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=-\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，求得Q（3，$\frac{7}{2}$），E（$\frac{2}{3}$，$\frac{7}{3}$），進(jìn)而得到AQ：QE：EB的比值．

解答 解：（1）∵拋物線y=$\frac{1}{6}$x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（8，6）交x負(fù)半軸于點(diǎn)B（-4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{6=\frac{1}{6}×64+8b+c}\\{0=\frac{1}{6}×16-4b+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{1}{6}}\\{c=-\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式：$y=\frac{1}{6}{x^2}-\frac{1}{6}x-\frac{10}{3}$，
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n，則
$\left\{\begin{array}{l}{6=8k+n}\\{0=-4k+n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式：$y=\frac{1}{2}x+2$；

（2）①∵PQ⊥x軸，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
∴P（m，$\frac{1}{6}$m²-$\frac{1}{6}$m-$\frac{10}{3}$），Q（m，$\frac{1}{2}m+2$），
∴PQ=$\frac{1}{2}m+2$-（$\frac{1}{6}{m^2}-\frac{1}{6}m-\frac{10}{3}$）=$-\frac{1}{6}{m^2}+\frac{2}{3}m+\frac{16}{3}$；
②在拋物線$y=\frac{1}{6}{x^2}-\frac{1}{6}x-\frac{10}{3}$中，當(dāng)x=0時(shí)，y=-$\frac{10}{3}$，
即D（0，-$\frac{10}{3}$），
在直線AB的解析式$y=\frac{1}{2}x+2$中，當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
即C（0，2），
∴CD=2-（$-\frac{10}{3}$）=$\frac{16}{3}$
∵四邊形CDPQ為平行四邊形，
∴PQ=CD，
∴$-\frac{1}{6}{m^2}+\frac{2}{3}m+\frac{16}{3}$=$\frac{16}{3}$，
解得：m₁=4，m₂=0（舍去），
∴m的值為4；

（3）∵拋物線的解析式：$y=\frac{1}{6}{x^2}-\frac{1}{6}x-\frac{10}{3}$，
∴設(shè)P（a，b）（-4＜a＜8），則b=$\frac{1}{6}{a}^{2}-\frac{1}{6}a-\frac{10}{3}$，①
∵直線AB的解析式：$y=\frac{1}{2}x+2$，
∴Q（a，$\frac{1}{2}$a+2），
∵PE⊥AB，
∴直線PE的解析式為y=-2x+2a+b，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+2}\\{y=-2x+2a+b}\end{array}\right.$，可得E（$\frac{4a+2b-4}{5}$，$\frac{2a+b+8}{5}$），
∵PE恰好被x軸平分，
∴$\frac{2a+b+8}{5}$+b=0，②
聯(lián)立①②解方程組可得$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=-\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=0}\end{array}\right.$（舍去），
∴Q（3，$\frac{7}{2}$），E（$\frac{2}{3}$，$\frac{7}{3}$），
∴AQ：QE：EB=（8-3）：（3-$\frac{2}{3}$）：（$\frac{2}{3}$+4）=15：7：14．
故答案為：15：7：14．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，以及平行四邊形的性質(zhì)，解題時(shí)注意：平行四邊形的對(duì)邊相等，這是列方程的主要依據(jù)．解題時(shí)注意方程思想的靈活運(yùn)用．