Question

5．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+bx-2的圖象與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△BCP的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使以B、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由二次函數(shù)y=ax²+bx-2的圖象與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，直接利用待定系數(shù)法，即可求得這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）首先過點(diǎn)P作PE∥y軸，交BC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，然后求得直線BC的解析式，即可由S_△BCP=S_△PCD+S_△PBD=$\frac{1}{2}$PD•OE+$\frac{1}{2}$PD•BE=$\frac{1}{2}$PD（OE+BE）=$\frac{1}{2}$PD•OB，求得答案；
（3）分別從BC是邊與對(duì)角線去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx-2的圖象與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-2=0}\\{9a+3b-2=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2；

（2）存在．
如圖1，過點(diǎn)P作PE∥y軸，交BC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，
∵C（0，-2），B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為：y=$\frac{2}{3}$x-2，
設(shè)P（x，$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2），則點(diǎn)D（x，$\frac{2}{3}$x-2），
∴S_△BCP=S_△PCD+S_△PBD=$\frac{1}{2}$PD•OE+$\frac{1}{2}$PD•BE=$\frac{1}{2}$PD（OE+BE）=$\frac{1}{2}$PD•OB=$\frac{1}{2}$×[$\frac{2}{3}$x-2-（$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2）]×3=-x²+3x=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，使△BCP的面積最大，
∴點(diǎn)P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）；

（3）存在．
若BC是邊，如圖2，
則BC∥MQ，BC=MQ，
過點(diǎn)M作MH⊥x軸，
∴△MQH≌△BOC，
∴MH=OC=2，QM=OB=3，
∴當(dāng)y=2時(shí)，$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2=2，
解得：x=1±$\sqrt{7}$，
∴Q₁的橫坐標(biāo)為：1+$\sqrt{7}$-3=$\sqrt{7}$-2，Q₂的橫坐標(biāo)為：1-$\sqrt{7}$-3=-2-$\sqrt{7}$，
∴Q₁（$\sqrt{7}$-2，0），Q₂（-2-$\sqrt{7}$，0）；
若BC為對(duì)角線，如圖3，
則BQ∥CM，BQ=CM，
∵M(jìn)（2，-2），
∴CM=2，
∴BQ=2，
∴OQ=1，
∴Q₃（1，0），
BC為平行四邊形的邊時(shí)，則BQ∥CM，BQ=CM，
∵M(jìn)（2，-2），
∴CM=2，
∴BQ=2，
∴OQ=5，
∴Q₄（5，0），

綜上，Q₁（$\sqrt{7}$-2，0），Q₂（-2-$\sqrt{7}$，0），Q₃（1，0），Q₄（5，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式的知識(shí)、二次函數(shù)的最值問題以及平行四邊形的性質(zhì)．注意掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．