Question

2．如圖，直線y=-3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B，拋物線y=a（x-2）²+k經(jīng)過點A、B．
（1）寫出點A、B的坐標；
（2）求拋物線的函數(shù)表達式；
（3）在拋物線對稱軸上存在一點P，使△ABP的周長最短．試求點P的坐標和該最短周長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)坐標軸上點的坐標特征求A，B兩點的坐標；
（2）把A、B點坐標代入根據(jù)待定系數(shù)法求出a的值即可．
（3）先求得P的位置，然后求得直線BC的解析式，把x=2代入求得的解析式即可求得P點的坐標．

解答 解：（1）當y=0時，-3x+3=0，解得x=1，則A點坐標為（1，0）；
當x=0時，y=-3x+3=3，則B點坐標為（0，3）；
（2）∵拋物線過A（1，0）、B（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a（1-2）^{2}+k=0}\\{a（0-2）^{2}+k=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{k=-1}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=（x-2）²-1．
（3）連接BC，交對稱軸于P，此時PA+PB的值最小，即△ABP的周長最短，最短周長=AB+BC，
∵A點坐標為（1，0），對稱軸為x=2，
∴C（3，0），
設直線BC的解析式為y=mx+n，
∵B（0，3），C（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{3m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
令x=2，則y=-2+3=1，
∴P（2，1），
∵A（1，0），B（0，3），C（3，0）；
∴AB=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴最短周長為$\sqrt{10}$+3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及軸對稱-最短路線問題，根據(jù)題意確定P的位置是解題的關(guān)鍵．