Question

1．如圖，AB是⊙0的直徑，BM切⊙0于點(diǎn)B，點(diǎn)P是⊙0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不經(jīng)過A、B兩點(diǎn)），過點(diǎn)0作OQ∥AP交BM于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)C，交QO的延長線于點(diǎn)E，連接PQ．
（1）求證：PQ與⊙0相切；
（2）若直徑AB的長為12，PC=2EC，$\frac{OC}{AC}$=$\frac{EC}{PC}$，求PC的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EOC=∠OAP，∠POQ=∠APO，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠APO=∠OAP，推出△POQ≌△BOQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠OPQ=∠OBQ=90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)已知條件得到AO=OP=6，求得AC=4，OC=2，由勾股定理即可得到結(jié)果．

解答 （1）證明：∵OQ∥AP，
∴∠EOC=∠OAP，∠POQ=∠APO，
又∵OP=OA，
∴∠APO=∠OAP，
又∵∠BOQ=∠EOA=∠OAP，
∴∠POQ=∠BOQ，
在△POQ與△BOQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{OP=OB}\\{∠POQ=∠BOQ}\\{OQ=OQ}\end{array}\right.$，
∴△POQ≌△BOQ，
∴∠OPQ=∠OBQ=90°，
∵點(diǎn)P在⊙O上，
∴PQ是⊙O的切線；

（2）解：∵PC=2EC，
∴$\frac{OC}{AC}$=$\frac{EC}{PC}$=$\frac{1}{2}$，
∵直徑AB的長為12，
∴AO=OP=6，
∴AC=4，OC=2，
∴PC=$\sqrt{O{P}^{2}-O{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．