Question

如圖，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點C與點A重合，折痕交AD于點E，BC于點F，連接AF、CE．
（1）求證：△AFE為等腰三角形．
（2）設AE=a，ED=b，DC=c．請寫出一個a，b，c三者之間的數量關系式．
（3）若AB=12cm，BC=18cm，求重疊部分△AFE的面積和EF的長．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）證明∠AFE=∠AEF，即可解決問題．
（2）證明AE=CF，運用勾股定理即可解決問題．
（3）證明四邊形AFCE是菱形，求出AC、AE的長度，即可解決問題．

解答：解：（1）如圖，連接AC，交EF于點O；
由題意得：∠AFE=∠CFE；
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEF=∠CFE，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF，
∴△AFE為等腰三角形．
（2）∵EF⊥AC，且平分AC，
∴AE=CE=a；在Rt△DCE中，
由勾股定理得：
CE²=CD²+DE²，而ED=b，DC=c，
∴a²=b²+c²．
（3）∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠B=90°，
∴AC²=BC²+AB²=12²+18²，
∴AC=6

13

；
由矩形的中心對稱性知：AE=CF，而AE∥CF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，而AE=AF，
∴四邊形AFCE是菱形，AC⊥EF；
設AE=λ，則DE=18-λ；
由（2）知：λ²=（18-λ）²+12²，
解得：λ=13，
∴S菱形AECF=AE•CD=

1

2

AC•EF=13×12，
∴S_△AEF=

1

2

S菱形AECF=78，EF=

52 3

3

，
即重疊部分△AFE的面積和EF的長分別為78cm²、

52 3

3

cm．

點評：該題以矩形為載體，以翻折變換為方法，以等腰三角形的判定、勾股定理、菱形的判定及其性質等幾何知識點的考查為核心構造而成；解題的關鍵是作輔助線；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．