Question

17．（1）問題發(fā)現(xiàn)：
如圖1，在△ABC中，分別以AB、AC為斜邊，向△ABC的形外作等腰直角三角形，直角的頂點分別為D、E，點F、M、G分別為AB、BC、AC邊的中點．
填空：①四邊形AFMG的形狀是平行四邊形；
         ②△DFM和△MGE之間的關(guān)系是△DFM≌△MGE．
（2）拓展探究：
如圖2，在△ABC中，分別以AB、AC為底邊，向△ABC的形外作等腰三角形，頂角的頂點分別為D、E，且∠BAD+∠CAE=90°，點F、M、G分別為AB、BC、AC邊的中點，試判斷△DFM和⊥MGE之間的關(guān)系，并加以說明．
（3）問題解決：
在（2）的條件下，若AD=5，AB=6，△DFM的面積為32，直接寫出△MGE的面積．

Answer 1

分析 （1）①依據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)證明FM∥AC，MG∥AB，從而可知四邊形AFMG的形狀；
②先依據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)證明DF=MG、FM=EG，然后依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠DFM=∠EGM，依據(jù)SAS可證明兩個三角形全等；
（2）先證明∠DFM=∠MGE，然后再證明∠BAD=∠AEG，依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可得到比例式，最后依據(jù)對應(yīng)邊成比例且夾角相等的兩三角形相似可證明△DFM∽△MGE；
（3）先依據(jù)勾股定理求得DF=4．然后可求得△DFM與△MGE的相似比，然后依據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方求解即可．

解答 解：（1）①∵BF=AF，BM=MC，
∴FM∥AC，同理MG∥AB，
∴四邊形AFMG是平行四邊形，
故答案為：平行四邊形；
②∵∠BDA=90°，DF是AB邊上的中線，
∴DF=AF．
∵四邊形AFMG是平行四邊形，
∴MG=AF，∠AFM=∠AGM．
∴DF=MG，∠BFM=∠MGC．
∵∠AEC=90°，EG是AC邊上的中線，
∴GE=AG．
∵四邊形AFMG是平行四邊形，
∴AG=FM．
∴GE=FM．
∵DA=DB，F(xiàn)為AB的中點，
∴∠DFB=90°．
同理：∠EGC=90°．
∴∠DFB+∠BFM=∠EGC+∠MGC，即∠DFM=∠EGM．
在△DFM和△MGE中，$\left\{\begin{array}{l}{DF=MG}&{\;}\\{∠DFM=∠EGM}&{\;}\\{FM=EG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DFM≌△MGE（SAS）；
故答案為：△DFM≌△MGE．

（2）△DFM∽△MGE，理由如下：
∵△ADB和△ACE都是等腰三角形，且F、G為AB、AC的中點，
∴∠DFB=∠EGC=90°．
∵點F、M、G分別為AB、BC、AC邊的中點，
∴FM∥AC，MG∥AB，F(xiàn)M=$\frac{1}{2}$AC=AG    MG=$\frac{1}{2}$AB=AF．
∴∠BFM=∠BAC=∠MGC．
∴∠BFM+90°=∠MGC+90°，
即∠DFM=∠MGE．
∵∠BAD+∠CAE=90°，∠CAE+∠AEG=90°，
∴∠BAD=∠AEG．
∴tan∠BAD=tan∠AEG．
∴$\frac{DF}{AF}=\frac{AG}{GE}$，即$\frac{DF}{MG}=\frac{FM}{GE}$，
又∵∠DFM=∠MGE，
∴△DFM∽△MGE．

（3）∵AD=5，AB=6，
∴AF=3，MG=3，MG=AF=3．
∴在Rt△ADF中，DF=$\sqrt{A{D}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．
∵由①知△DFM∽△MGE，且△DFM的面積為32，
∴$\frac{{S}_{△MGE}}{{S}_{△DFM}}$=（$\frac{MG}{DF}$）²=（$\frac{3}{4}$）²=$\frac{9}{16}$．
∴S_△MGE=32×$\frac{9}{16}$=18．

點評 本題是四邊形綜合題目，主要考查的是三角形、四邊形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了三角形的中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用，找出△DFM與△MGE全等或相似的條件是解題的關(guān)鍵．