Question

12．如圖所示，山坡上有一棵與水平面垂直的大樹，一場(chǎng)臺(tái)風(fēng)過后，大樹被刮傾斜后折斷倒在山坡上，樹的頂部恰好接觸到坡面．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得樹干傾斜角∠BAC=38°，大樹被折斷部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=6m．
（1）求∠CAE的度數(shù)；
（2）求這棵大樹折斷前的高度？
（結(jié)果精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$=1.4，$\sqrt{3}$=1.7，$\sqrt{6}$=2.4）．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)BA交EF于點(diǎn)G，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠GAE的度數(shù)，再由補(bǔ)角的定義即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)A作AH⊥CD，垂足為H，在△ADH中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DH的長(zhǎng)，同理可得出AC的長(zhǎng)，由AB=AC+CD即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）延長(zhǎng)BA交EF于點(diǎn)G，在Rt△AGE中，
∵∠E=23°，
∴∠GAE=67°．
又∵∠BAC=38°，
∴∠CAE=180°-67°-38°=75°．

（2）過點(diǎn)A作AH⊥CD，垂足為H．
在△ADH中，
∵∠ADC=60°，AD=6m，
∴DH=AD•cos∠ADC=6cos60°=3，AH=AD•sin∠ADC=6sin60°=3$\sqrt{3}$．
在Rt△ACH中，∠C=180°-75°-60°=45°，
∴CH=AH=3$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{C{H}^{2}+A{H}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{54}$=3$\sqrt{6}$
∴AB=AC+CD=3$\sqrt{6}$+3$\sqrt{3}$+3≈15（米）．
答：這棵大樹折斷前高約15米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．