Question

5．已知矩形ABCD的對角線相交于O，OF⊥AD，OF=2cm，AE⊥BD，且BE=OE
（1）求證：AB=AO；
（2）求證：∠CAD=30°；
（3）求AC的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）先證明△AOB是等邊三角形，求出∠BAO=60°，即可得出結(jié)果；
（3）在Rt△AOF中，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AO，即可得出AC的長．

解答 （1）證明：∵AE⊥BD，且BE=OE，
∴AB=AO；
（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AO=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，
∴AO=OD，
由（1）得AB=AO，
∴AB=AO=OB，
∴∠BAO=60°，
∴∠CAD=90°-60°=30°；
（3）解：∵OF⊥AD，
∴∠AFO=90°，
又∵∠CA=30°，
∴AO=2OF=4cm，
∴AC=2AO=8cm．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定因此性質(zhì)；證明三角形是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵．