Question

15．已知：AB是⊙O的直徑，AD、BC是⊙O的切線，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，若AD=5，AB=4，BC=8，則△PCD的面積的最小值是（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 如圖，過D作DE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，可求得CD=5，過P作⊙O的切線，交AD、BC于點(diǎn)M、N，當(dāng)MN∥CD時(shí)，過N作NF⊥CD，可知此時(shí)點(diǎn)P到CD的距離最小，根據(jù)切線長定理可求得CN=4，又可證明△DEC∽△NFC，可求得NF，進(jìn)一步可求得△PDC的面積．

解答 解：
如圖，過D作DE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，
∵AD=5，BC=8，
∴CE=3，
又DE=AB=4，
∴CD=5，
當(dāng)點(diǎn)P到CD的距離最小時(shí)，△PCD面積有最小值，過P作⊙O的切線，交AD、BC于點(diǎn)M、N，當(dāng)MN∥CD時(shí)，過N作NF⊥CD，
可知此時(shí)P到CD的距離最小，
∵AD、BC為⊙O的切線，
∴AD∥BC，
∴四邊形CDMN為平行四邊形，
∴CN=MD，MN=CD=5，
設(shè)DM=CN=x，則AM=5-x，
∵M(jìn)N為⊙O的切線，
∴MP=AM=5-x，
∴PN=BN=x，
∴BC=2x，
∴x=4，
即CN=4，
在△DEC和△NFC中
∵∠DEC=∠NFC，∠C=∠C，
∴△DEC∽△NFC，
∴$\frac{DE}{NF}$=$\frac{CD}{NC}$，即$\frac{5}{4}$=$\frac{4}{x}$，解得x=$\frac{16}{5}$，
∴NF=$\frac{16}{5}$，
此時(shí)S_△PCD=$\frac{1}{2}$•CD•NF=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{16}{5}$=8，
故選C．

點(diǎn)評 本題主要考查切線的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，確定出△PCD面積最小時(shí)P點(diǎn)的位置并且求得CN的值是解題的關(guān)鍵，注意方程思想的應(yīng)用．